Potęga realna.

Sign (±a)*|±a|ⁿ = Potęga realna.

 ---------------------------------------------------------------------------------------

        Liczba, jak trzeba wiedzieć, składa się ze znaku liczbowego oraz występującej po nim wielkości nieujemnej, czyli zawsze bezwzględnej, czego na ogół najczęściej nie zaznaczamy tak jak i nie piszemy znaku gdy on jest dodatni.

Te dwie własności liczby, znak i wielkość bezwzględna, stanowią razem wartość liczby. Jednym ze sposobów zmiany wielkości liczby jest potęgowanie. Cóż to takiego? Otóż jest to swoisty sposób zmiany wielkości liczby, poprzez jej namnożenie czyli powielenie a nie prostego mnożenia jak to pojmuje współczesna matematyka. To powielenie dbywa się zatem w obrębie jej wartości bezwzględnej.

        Jeżeli jest to swoisty sposób zmiany wielkości liczby poprzez powielenie, to logiczne jest, że w tym procesie zachowany musi pozostać znak tej liczby poddawanej procesowi. Mamy więc wartość liczby (ze znakiem) i jej wielkość (wartość bezwzględną), którą tylko i wyłącznie potęgujemy, co trzeba odróżniać. Ta wartość liczby w tym swoistym procesie po zmianie jej wielkości poprzez potęgowanie, musi zatem być zachowana jeśli chodzi o znak.

        O ile nie stwarza to problemów w działaniu na liczbach dodatnich o tyle z liczbami ujemnymi jest już inaczej. Liczby ujemne to narastające na osi liczbowej od zera, w odwrotnym kierunku niż dodatnie.

    Gdy oba zbiory są bardzo gęste (liczby Rzeczywiste), to z powodzeniem można te liczby dodatnie i ujemne przedstawiać jako długości odpowiednich odcinków na osi liczbowej, narastających w odwrotnych kierunkach. Problem tkwi w tym, że potęgowanie było historycznie ujęte wcześniej nim upowszechniły się liczby ujemne (twierdzenie Pitagorasa z VI wieku p.n.e. a ² + b²=c ² ), jest na liczbach dodatnich a liczby ujemne jeszcze długo, długo były nieznane a jak już, to były uważane za nieprawdziwe (o czym jeszcze będzie mowa).

        Jeśli ograniczymy się do potęg o wykładniku potęgi stanowiącym liczby naturalne (1;2;3; ….), a potęgowana liczba jest dodatnia to nie stwarza nam to działanie żadnych problemów i jest ono jednoetapowe polegające na wymnażaniu wielkości liczby przez siebie tylokrotnie ile nam mówi wykładnik potęgi i w wyniku potęgowania jako swoistego sposobu zmiany wielkości liczby wyjściowej otrzymujemy liczbę dodatnią jako, że mnożenie znaków + nie zmienia wyniku co do wartości. Inaczej ma się sprawa gdy ta liczba potęgowana jest ujemna, a to dlatego, że znak „-„ ma właściwość podczas mnożenia, zmiany znaku na przeciwny niż on był przed wymnożeniem. Gdy liczby ujemne się już upowszechniły i zaczęto je potęgować zgodnie ze schematem jaki jest dla liczb dodatnich, zaczęły się dziać dziwne rzeczy. Kolejne stadia namnażania raz dawały wynik mieszczący się na ujemnej części osi liczbowej po czym po kolejnym wymnożeniu, na dodatniej jej części. Dzieje się tak dlatego, że proces z jednoetapowego przechodzi tu w dwuetapowy. Raz, zmiana wielkości wyniku a następnie dwa, poprzez wymnożenie przez minus, zmiana znaku na przeciwny i skakanie z jednej półosi liczbowej na drugą. To pojawienie się drugiego etapu czyni w odniesieniu do liczb ujemnych, że to już nie jest potęgowanie ale tworzenie n-krotnego iloczynu liczby ujemnej, gdzie „n” nie pełni roli wykładnika potęgi tylko mówi o krotności mnożenia całej liczby wraz z jej znakiem przez siebie.

        Bierze się to z niezachowania reżymu, że wartość liczby to jej znak i nieujemna (bezwzględna) wielkość występująca po znaku i nią tylko i wyłącznie możemy potęgować, a nie dodatkowo i znaki, dlatego też gdy wykładnik jest nieparzysty to pod nim musi być liczba w znaku bezwzględności, np: - 2^{^3} = - |-2|^³ = -8, to jest dopiero potęga trzeciego stopnia zaś (-2)*(-2) *(-2) = -8 jest trzykrotnym iloczynem liczby -2 i tylko zbieg okoliczności sprawia, że jest równy potędze o wykładniku w tym przypadku równym 3, ale gdy wykładnik jest parzysty (-2)^⁴ = (-2)*(- 2)*(-2)*(-2) = 16 jest 4 krotnym iloczynem liczby (-2) a nie potęgą, która jest równa: - |-2|^4=(- 16) = - 2*2*2*2 i jest liczbą ujemną. W tej samej potędze dodatniej nie wykazujemy znaku bezwzględności gdyż liczba dodatnia jest równa historycznie swojej bezwzględności 2³ = +|2|^{^3}=+8 = 2*2*2 przez oszczędność nie piszemy tu ani znaku + ani bezwzględności. Zamiast pisać znak ,, - „  czy ,, + „ poprawniej jest pisać +1*.... lub – 1*....., ale człowiek jest racjonalny i sobie upraszcza gdy jest to tosamo.

Reasumując, każda potęga liczby ujemnej o wykładniku rzeczywistym jest liczbą ujemną i musi mieć rodowód w działaniach pierwotnych jakimi są dodowanie i odejmowanie.

        Te nieporozumienia powodują pojawienie się wielu sprzeczności, gdzie matematycy dla ich uniknięcia nie dociekają skąd się biorą tylko w karykaturalny sposób okroili dziedzinę potęgowania by ich uniknąć i by owe sprzeczności były poza dziedziną, gdy tymczasem dziedzina powinna być jak najszersza obejmująca liczby rzeczywiste „R”.

Prezentowana potęga realna wymaga nowatorskiego spojrzenia na znaczenie i istotę liczb ujemnych. Z krótkiego zarysu wynika, że pierwsze wzmianki o liczbach ujemnych pochodzą z Chińskiego, dziewięcioksięgowego Traktatu matematycznego pochodzącego z I w  p.n.e. Od tego czasu bardzo opornie torowały sobie drogę w matematycznej świadomości ludzkiej.

W VII wieku w Indiach liczby ujemne oznaczano kropką nad cyfrą a do wieku XIII traktowane były jako liczby fałszywe, absurdalne i fikcyjne. Dopiero pod koniec XV wieku jako tako ugruntowały się w świadomości, głównie w skutek rozwoju feudalizmu i rozliczeń kupieckich ponownie się nimi zainteresowano i liczby otrzymywały znak „+ lub –„ głównie jako nadmiar lub brak wagi. Średniowieczni kupcy dobrze znali relacje więkrzościowe między liczbami ujemnymi i wiedzieli, że niedowaga -8 > -1 , ale współcześni matematycy zaprzepaścili tą wiedzę i twierdzą, że jest inaczej -8 < -1. Do końca XVIII wieku (jeszcze przez Izaaka Newtona) liczby ujemne były traktowane jako mniejsze od „nic”. Pogląd ten utrzymuje się do tego czasu tj. trzeciej dekady XXI wieku z tym, że „nic” zastąpiono cyfrą 0.

1. Sprzeczności potęgi klasycznej.
2. Dowody prawdziwości potęgi realnej.

3. Weryfikacja potęgi realnej.

1. Sprzeczności potęgi klasycznej.

Pokażę na kilku przykładach, ile to sprzeczności jest związanych ze współcześnie stosowaną potęgą , określoną w ten sposób, że n-tą potęgą liczby a nazywa się liczbę aⁿ=a*a*…..a, gdzie czynnik mnożenia a powtarza się n razy.

Potęgę tą będziemy dalej nazywać „potęgą klasyczną’’.

Sprzeczność 1.

Jak to jest możliwe, że jeśli mamy potęgę trzecią liczby ujemnej np. (-2)³=(-2)*(-2)*(-2)=-8 i jeśli wykładnik 3 rozszerzymy do  , to znaczy tak, by w liczniku rozszerzonego wykładnika była liczba (potęga) parzysta, otrzymamy wówczas:(-2)³ = ==? (niezgodne z prawdą). Przecież oba wykładniki są sobie równe  a otrzymujemy różne wyniki.

Jeżeli zaś wykładnik 3 rozszerzymy tak, by w jego liczniku była liczba (potęga) nieparzysta  to wówczas mamy:

 ==-8 co jest zgodne z prawdą. Wprawdzie w szkole uczono, że wykładnik potęgi trzeba skracać bo inaczej popadnie się w sprzeczność. Otóź to, dlaczego wpadnie się w sprzeczność przecież wykładniki są sobie równe? To mnie interesuje. Widać, że zkonstrukcją potęgi klasycznej jest coś nie tak jak trzeba, bo równe wykładniki potęgi tej samej liczby powinny dać równe wyniki a tu okazuje się w pierwszym przypadku klasyczna potęga być fałszywą. Dalej nie będę tu się rozwodził dlaczego jest ta konstrukcja potęgi klasycznej fałszywa, tylko odsyłam do następnego rozdziału tej pracy ,,Dowody prawdziwości potęgi realnej”

Sprzeczność 2.

Jeżeli mamy potęgę parzystą liczby (-2), np. (-2)² czy (-2)⁴ to, ponieważ potęgi te są większe od zera, możemy z nich wyciągnąć pierwiastki, odpowiednio drugiego i czwartego stopnia, otrzymując: , oraz  =  Powtóżymy

Z drugiej strony, pierwiastek drugiego czy czwartego stopnia z liczby a większej od zera czyli  czy  jest równy potędze  liczby a o wykładniku  tak, że =  czy  =  .

Zatem po zastąpieniu określonych pierwiastków odpowiadającymi im potęgami otrzymamy zapis:

 = skąd po wymnożeniu potęg otrzymamy  = = co jest zgodne z prawdą, bo widzimy, że potęgujemy liczbę -2 oraz odpowiednio,

 ==   Podobnie prawdziwy wynik, bo potęgujemy liczbę -2

Skąd ta sprzeczność  której nie obserwujemy gdy pierwiastkować będziemy potęgi nieparzyste, jak chociażby:

 =  =-2 co odpowiada  = =  = -2 i co jest zgodne z prawdą. W drugim wierszu tego przykładu powstała sprzeczność. Potęga klasyczna musi mieć wadliwą konstrukcję, zakłada więc kaganiec, że najpierw trzeba wyliczyć wielokrotny parzysty iloczyn liczby (-2) a dopiero później pierwiastkować. Ten kaganiec nałożony zostaje z tego powodu, że nie radzi sobie z potęgami liczb ujemnych do których to potęg odsyłam do następnego rozdziału ,,Dowody prawdziwości potęgi realnej”.

 Sprzeczność 3.

Jeżeli  przedstawimy w szeregu liczbowym, 1+2+3+….+n, a wyrazy tego szeregu podniesiemy do potęgi trzeciej, to okazuje się, że suma n początkowych sześcianów takiego szeregu jest równa kwadratowi sumy n początkowych wyrazów szeregu, którego elementy pozostają w potędze pierwszej: 1³+2³+3³+…..+n³ = (1+2+3+…..+n)².

Na przykład: 1+8+27=(1+2+3)²=36. Jeżeli wyrazami szeregu będą liczby ujemne to również musimy uzyskać równość: (-1)³+(-2)³+(-3)³+….+(-n)³=[(-1)+(-2)+(-3)+….+(-n)]².

Klasyczna definicja potęgi jest tu jednak w sprzeczności gdyż zgodnie z nią, kwadrat liczby ujemnej to np.:

[(-1)+(-2)+(-3)]²=(-6)*(-6)=36≠[(-1)³+(-2)³+(-3)³=-36] =-6*6 = - |-6|². Potęga klasyczna pozostaje w jawnej sprzeczności.

2. Dowody prawdziwości potęgi realnej.

To, co dotąd przedstawiono daje pewność, że potęga klasyczna jest nieprawdziwa wówczas gdy liczby ujemne mają wykładniki potęgi, parzyste.

W celu potwierdzenia tej nieprawdziwości należałoby znaleźć jakiś alternatywny sposób przedstawiania potęgi, różny od przedstawiania jej w postaci mnożenia.

Najlepiej by było gdyby to był sposób jej przedstawiania w postaci dodawania i odejmowania czyli forma działań pierwotnych. Udało się takie formy znaleźć .

Pokażę z pośród kilku dwa sposoby wyrażania potęgi w formie dodawania i odejmowania. Oparte są one na szeregach liczbowych i dla a ≥ 0.

Równanie1:  (±a)ⁿ=*2*Sn₁.

Równanie2: *6*Sn₂+[(2ⁿ-2)*Sn₁-(±a)]*(-1)ⁿ.

Gdzie n i a to liczby naturalne: ( 0;1;2;3;……); Sn₁- suma postępu arytmetycznego, Sn₁=(±1)+(±2)+(±3)+….+(±a)=;

Sn₂-suma postępu, Sn₂==.

 Rozpiszemy kilka pierwszych potęg dla liczb a=4 oraz –a=-4, dla a >0 według drugiego, bardziej złożonego równania.

Dla konkretnych potęg liczb a=4 i –a =-4 otrzymaliśmy przypisane im odpowiednie ilości ciągów liczbowych Sn₁ i Sn₂, po bezpośrednim ich zliczeniu otrzymujemy ich sumy:

Dla a=4 odpowiednio Sn₁=10 oraz Sn₂=20, co bezpośrednio możemy zliczyć weryfikując lub skożystać z algorytmu, zaś dla –a =-4 odpowiednio Sn₁= -10 oraz Sn₂= -20. Podstawimy te wartości.

 *20+(-1)*10-4 ________  =1 __________ oraz (-4)⁰ =*(-20)+(-1)*(-10)+4 ________ =-1.

4¹ = +4 __________________ =1*4 __________oraz (-4)¹ = -4 _____________________ =-1*4.

4²  = 2*10-4 ______________ =1*4*4 _________ oraz (-4)² = 2*(-10)+4 ______________ =-1*4*4.

4³ = 6*20-6*10+4 _________=1*4*4*4 ________oraz (-4)³ = 6*(-20)-6*(-10)-4 ________=-1*4*4*4.

4⁴  =6*20+14*10-4 _______=1*4*4*4*4 _______oraz (-4)⁴ = 6*(-20)+14*(-10)+4 ______=-1*4*4*4*4.

4⁵ =66*20-30*10+4 _____=1*4*4*4*4*4 _______oraz(-4)⁵ =66*(-20)-30*(-10)-4 _____= -1*4*4*4*4*4.

Wyliczając sumy dla potęgi czwartej z prezentowanych ciągów liczbowych z uogólnionych równań otrzymujemy: Sn₁ =  oraz Sn₂=  , zgodnie ze zliczeniem  bezpośrednim (na piechotę).

Gdy w tych algorytmach zastąpimy liczbę 4 przez ujemną -4 musimy również uzyskać wynik zgodny z bezpośrednim zliczeniem, czyli Sn₁= =(-10), oraz Sn₂= =. By to osiągnąć, występujące w tych algorytmach kwadraty liczby -4 muszą mieć konstrukcje zaprezentowane powyżej i wówczas:

Sn₁= oraz Sn₂= Zweryfikowane

bezpośrednim zliczeniem. Prześledzimy na liczbach ogólnych, ile stanowi czwarta potęga liczby ujemnej (-a).

.

Ponieważ ponadto 

Po sprowadzeniu wartości w nawiasie kwadratowym do wspólnego mianownika i uwzględnieniu ostatnich powyższych równości otrzymujemy równość:=.

Mnożąc licznik i mianownik ułamka końcowego wyrażenia przez a otrzymujemy:=*(a³+3*a²+2*a)-7*a²-6*a=-a⁴+7*a²+6*a-7*a²-6*a

=-1*a*a*a*a.

Przykłady wykazały, że potęgę można przedstawić w formie dodawania i odejmowania, czyli działań pierwotnych z których można przejść do formy mnożenia. Z obu form wynika, że np. (-a)⁴= -1*a*a*a*a= -a*a*a*a. Gdy wrócimy do sprzeczności 3, stosując taką potęgę widzimy, że w wyrażeniu (-1)³+(-2)³+(-3)³=[(-1)+(-2)+(-3)]²=(-6)²

= -1*6*6= -6*6= -36, co jest zgodne z prawdą i nie ma sprzeczności. Podejrzenia, że z klasyczną potęgą parzystą liczb ujemnych jest coś nie w porządku okazały się słuszne, potęga ta okazała się być nieprawdziwą, w związku z tym wysuwa się hipotezę, że: potęgą  jest , gdzie czynność namnażania liczb  przez liczbę a≥0 powtarza się n razy, co jest równoważne równości:

  = Potęga realna,

 dla tego przypadku określona dla liczb naturalnych n= (0; 1; 2; 3....), oraz

ujemnych (-1)*n gdzie występuje +1 gdy jest +a, czyli liczba >0 oraz (-1) gdy jest (-a), czyli liczba < 0.  Albowiem sign z liczb ujemnych = (-1) a dodatnich +1

Potęgę tą nazwiemy roboczo „potęgą realną”, choć właściwie nie powinna mieć przymiotnika. Uogólniając jest ona określona w całym zakresie liczb Rzeczywistych w szczególności dla każdego ogólnego a i n  gdzie R- liczby rzeczywiste.

Wracając do hipotezy potęgi realnej, to została ona udowodniona i zweryfikowana choćby przez zaprezentowane ciągi liczbowe bezpośrednio zliczane i co najważniejsze ma swój rodowód w działaniach pierwotnych jakimi jest dodawanie i odejmowanie. Tego rodowodu brakuje fałszywej potędze klasycznej liczb ujemnych.

W świetle tej hipotezy potęga klasyczna liczb ujemnych  potęgą nie jest gdyż jest to n-krotny iloczyn liczby ujemnej, szczególnie gdy wykładnik jest parzysty, a nie potęgą. Tylko gdy wykładnik jest nieparzysty, dzięki zbiegowi okoliczności jest to równe potędze, np.(-2)³=(-2)*(-2)*(-2)= -1*2*2*2,

n-krotny iloczyn jest równy potędze i dla tych przypadków nigdy nie wnosi sprzeczności. Natomiast n-krotne iloczyny parzyste są potęgami wartości bezwzględnej lub (co jest równoważne), wartości dodatniej , jest to więc potęga ale liczby dodatniej a nie ujemnej i to jest ta różnica. Z tego powodu iloczyny parzyste, w odróżnieniu od potęgi i zgodnie z tym czym są w istocie powinny być w znaku bezwzględności.

Reasumując, czym innym są n- krotne iloczyny brane za potęgę a czym innym jest potęga liczby ujemnej.

Odrębnego potraktowania wymaga potęga zera a szczególnie 0⁰, czym zajmiemy się nieco później.

Trzy przykładowe dowody prawdziwości ,,Potęgi realnej” a jej braku dla potęgi klasycznej pokutującej we współczesnej matematyce.

Dowód 1.

W sprzeczności 3, został przedstawiony związek między szeregami liczbowymi, 1³+2³+3³+…..+n³=(1+2+3+….+n)².

Jeżeli w miejsce liczb naturalnych (1;2;3;….n) wprowadzimy liczby ujemne: -1*(1+2+3+….+n), to również musimy uzyskać ten związek,

 (-1)³+(-2)³+(-3)³+…+(-n)³=[(-1)+(-2)+(-3)+…+(-n)]².

Np.: (-1)³+(-2)³+(-3)³=[-1+(-2)+(-3)]²=(-6)²= -36, z czego wynika, że (-6)²= -6*6 bo tylko taka możliwość pozostała, co udowodnimy!

Jeżeli mamy szereg: 1+2+3+….+n= , to stąd otrzymamy inny szereg: 

Drogą indukcji matematycznej można wykazać, że równanie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n.

Co będzie gdy wyrazami takiego szeregu będą liczby całkowite ujemne: -1*(1+2+3+…+n) = (-1)+(-2)+(-3)+...+(-n)?

Otóż jeśli całe równanie pomnożymy przez (-1) lub podstawimy w miejsce liczby n liczbę (-1)*n=(-n), co jest równoważne wymnożeniu przez (-1), to równanie będzie nadal prawdziwe ale dla liczb ujemnych, stąd twierdzenie, że: 

Dowodząc, że równanie jest prawdziwe dla każdej liczby ujemnej (-n), postępujemy analogicznie jak przy dowodzeniu prawdziwości równania dla liczb naturalnych n, drogą indukcji matematycznej, z tym zastrzeżeniem, że ponieważ całe równanie prawdziwe dla liczb naturalnych zostało pomnożone przez (-1) by przejść do liczb ujemnych (-n), to jeśli określone zasady, występujące przy dowodzeniu za pomocą indukcji matematycznej dla liczb naturalnych, zawierają wielkości liczbowe, to trzeba przy dowodzeniu dla liczb ujemnych te wielkości liczbowe również pomnożyć przez (-1). W ten sposób będzie to tworzyć indukcję matematyczną dla liczb (-1)*n=(-n).

Czyli indukcja matematyczna na liczbach ujemnych. Jeśli ktoś zarzuci, że indukcja matematyczna dotyczy liczb dodatnich to mu odpowiem, czy próbował jej dla liczb ujemnych?, Bo ja ją z powodzeniem stosuję i mam wyniki a nie jakieś tego kogoś biadolenie, choć nie próbował.

Wówczas indukcję tą dla liczb ujemnych (-n) przeprowadzamy w następujący sposób:

1°. Zakładamy prawdziwość twierdzenia: -1+(-2)+(-3)+…+(-n)+…+(-3)+(-2)+(-1)=(-n)^{^2} = -n*n, co sprawdzamy dla (-n)=-1: -1=(-1)^2=-1*1=-1 co jest zgodne z prawdą i jest do zweryfikowania metodą bezpośredniego zliczania.

2°. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby (-n)=(-1)*k=(-k), skąd otrzymujemy: -1+(-2)+(-3)+…+(-k)+…+(-3)+(-2)+(-1)=(-k)^². Ten kwadrat ma być równy, (-k)²=-k*k.

         -1+(-2)+(-3)+...+(-k+1)+(-k)+(-k+1)+...+(-3)+(-2)+(-1)=2*((-k+1)^2+(-k+1))/2-k=(-k+1)*(k-1)+(-k+1)-k=-k*k+k+k-1-2*k+1=-k*k=(-k)^2.

         Co również możemy zweryfikować dla każdego obranego „-k” metodą bezpośredniego zliczenia.

3°. Teza indukcyjna.

 Z twierdzenia prawdziwości równania dla (-k) wypływa twierdzenie prawdziwości dla (-n)=(-1)*(k+1)=-k-1.

4°. Pokażemy, że jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla (-k) to jest także prawdziwe dla (–k-1), tak, że zgodnie z 1°, mamy otrzymać (-k-1)^2=(-k-1)*(k+1), co okażemy!.

(-1)+(-2)+(-3)+…+(-k-1)+…+(-3)+(-2)+(-1)=(-1)+(-2)+(-3)+…+(-k)+(-k-1)+(-k)+…+(-3)+(-2)+(-1)=(-k)^2+(-k)+(-k-1), skąd uwzględniając założone w 1° twierdzenie,

że (-k)^2 =-k*k, otrzymamy: (-k)^2 +(-k)+(-k-1)=-k*k+(-k)+(-k-1)=k*(-k-1)+(-k-1)=(k*(-k-1)+(-k-1))=(-k-1)*(k+1)

 po wyciągnięciu przed nawias wartości (-k-1) otrzymaliśmy kwadrat: (-k-1)*(k+1)=(-k-1)^2,  c.b.d.o. Skrót ten oznacza: co było do okazania.

Tak, że otrzymanie przewidywanej równości (-k-1)^2 =(-k-1)*(k+1) ma miejsce gdy (-k)^2=-k*k, to spełnia prawdziwość założonego w 1° twierdzenia.

Reasumując.

Stwierdziliśmy prawdziwość twierdzenia dla (-n)=(-1), następnie przy założeniu, że twierdzenie jest prawdziwe dla (-k) pokazaliśmy, że jest ono prawdziwe także dla (-k-1) a tym samym drogą indukcji matematycznej jest prawdziwe dla każdej liczby całkowitej (-n)≤(-1) według współczesnej nomenklatury oznaczania wielkośći liczb ujemnych od 0 do ,, -„  nieskończonośći.

Dowód 2.

Skoro wykazaliśmy, że (-n)^2=-n*n, wykażemy teraz, że otrzymane z równania: 1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)^2=((n^2+n)/2)^2 , prawdziwego drogą indukcji matematycznej dla każdego n=(1;2;3;….), to  równanie: (-1)^3+(-2)^3+(-3)^3+…+(-n)^3=((-1)+(-2)+(-3)+…+(-n))^2

=(((-n)^2+(-n))/2)^2  otrzymane poprzez wymnożenie przez (-1) lub (co jest równoważne) podstawienie w miejsce n, wartości (-1)*n=(-n), jest z założenia prawdziwe dla każdej ujemnej liczby (-n).

1°. Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla (-n)=(-1): (-1)^3=-1=(((-1)^2+(-1))/2)^2=((-1*1+(-1))/2)^2=(-1)^2=-1*1=-1, zgodnie z prawdą.

2°. Zakładamy prawdziwość twierdzenia dla (-n)=(-k) otrzymując: (-1)^3+(-2)^3+(-3)^3+…+(-k)^3=(((-k)^2+(-k))/2)^2

 3°. Twierdzimy, że skoro równanie jest prawdziwe dla (-n)=-k to jest również prawdziwe dla (-n)=-k-1.

4°. Pokażemy, że skoro równanie jest prawdziwe dla (-k), to jest prawdziwe również dla (–k-1) a więc:

(-1)^3+(-2)^3+(-3)^3+…+(-k)^3+(-k-1)^3=(((-k)^2+(-k))/2)^2+(-k-1)^3

Ponieważ (-k)^2 =-k*k, co zostało wcześniej dowiedzione, to uzyskujemy:

(((-k)^2+(-k))/2)^2+(-k-1)^3=((-k*k+(-k))/2)^2+(-k-1)^3=(k*(-k-1)/2)^2+(-k-1)^3, (wyciągneliśmy z kwadratu i reszty dzielnej przed nawias k)

  i ma się to równać: (((-k-1)^2+(-k-1))/2)^2, czyli inaczej: ((-1)+(-2)+(-3)+…+(-k-1))^2, 

wykażemy, że tak będzie, udowadniając tym samym, że kwadrat liczby ujemnej jest liczbą ujemną.

Podniesiemy zgodnie z zapisem do kwadratu oraz rozwiniemy sześcian otrzymując:

(k*(-k-1)/2)^2+(-k-1)^3=k^2*(-k-1)^2/4+((-k-1)*(k+1))*(k+1)

=k^2*(-k-1)^2/4+(-k-1)^2*4*(k+1)/4=k^2*(-k-1)^2/4+(-k-1)^2*(4*k+4)/4.

W rozwiniętym sześcianie wyizowaliśmy jego częsć zapisując ją następnie jako udowodniony wcześniej kwadrat, pozostałą część (k+1) z tego sześcianu pomnożyliśmy i podzieliliśmy przez 4. 

Wyciągniemy przed nawias (-k-1)^2 uzyskując: (-k-1)^2*(k^2+4*k+4)/4=(-k-1)^2*(k+2)^2/4=((-k-1)*(k+2)/2)^2, Zapisaliśmy ten iloraz w formie ogólnego kwadratu a następnie wymnożyliśmy jego dzielną otrzymując: =((-k*k-2*k-k-2)/2)^2, następnie zbudowaliśmy rozwiniętą przez wymnożenie czynników, następującą postać poszukiwanego iloczynu kwadratu jako dzielnej: ((-k-1)*(k+1)=-k*k-2*k-1), birąc brakujące -1 z występującej cyfry -2 i w rezultacie otrzymując:

=(((-k*k-2*k-1)+(-k-1))/2)^2=(((-k-1)*(k+1)+(-k-1))/2)^2=(((-k-1)^2+(-k-1))/2)^2, otrzymałem prawdziwy, rozwinięty ujemny kwadrat potęgi realnej równy:

(-k-1)*(k+1)=(-k-1)^2, (wcześniej udowodniony na wyrażeniu: (–k)*k=(-k)^2), jak również poszukiwaną formułę zliczającą szereg:

=(((-k-1)^2+(-k-1))/2)^2, c.b.d.o. i jest do zweryfikowania metodą bezpośredniego zliczenia ciągów ze sprzeczności 3:

(-1)^3+(-2)^3+(-3)^3+....+(-k)^3+(-k-1)^3 = ((-1)+(-2)+(-3)+…+(-k)+(-k-1))^2= (((-k-1)^2+(-k-1))/2)^2.

 Wykazując prawdziwość równania dla (-n)=(-k-1), drogą indukcji matematycznej dochodzimy jego prawdziwości dla każdego całkowitego (-n)≤-1.

Udowadniając, że: (-1)^3+(-2)^3+(-3)^3+…+(-n)^3=(((-n)^2+(-n))/2)^2=((-1)+(-2)+(-3)+…+(-n))^2,  potwierdziliśmy, że uzyskanie prawdziwości równania dla ujemnej liczby (-n)=(-k-1) jest faktem i że ma to miejsce tylko wtedy, gdy (-n)²= -n*n, wcześniej udowodnione.

Wykażemy teraz równowartość wymnażania równania przez (-1) z podstawieniem do uogólnionego równania w miejsce wyrazu dodatniego n,

wyrazu (-1)*n= -n, podczas przechodzenia od równań prawdziwych dla liczb naturalnych n, do równań prawdziwych dla liczb (-1)*n= -n.

Np.: (-1)*n^2= -1*n*n= -n*n=(-n)^2 co odpowiada: (-1)*n^2=-1*1*n^2=(-1)^2*n^2=(-1*n)^2=(-n)^2=(-n)*n.

Wymnożenie przez (-1) jest tożsame z podstawieniem do uogólnionego równania w miejsce wartości n, wartości (-n).

Przedstawione dowody a w szczególności dowód w sprzeczności 1, w spektakularny sposób potwierdziły prawdziwość hipotetycznej potęgi realnej i jej definicji tak, że staje się ona udowodnionym faktem. Kto po zapoznaniu się z tą pracą będzie jeszcze twierdził, że (-5)^2 =25, jest zwyczajnym ignorantem w sposób świadomy łamiącym podstawowe, święte prawa królowej nauk matematyki.

Przykład 1.

Jedną z podstawowych zasad w działaniach matematycznych jest fakt, że cokolwiek byśmy pomnożyli przez liczbę 1, to nie może to działanie niczego zmienić.

Weźmy więc 2–krotny, czyli parzysty iloczyn ujemnej liczby (-2), czyli rzekomy kwadrat Potęgi klasycznej i pomnóżmy go przez liczbę 1, otrzymamy:

1*(-2)^2=1*(-2)*(-2)=(-1)*(-1)*(-2)*(-2)=(-1)*(-2)*(-1)*(-2)=2*2=2^2. Gdyby taka była konstrukcja kwadratu liczby (-2), czyli (-2)² =(-2)*(-2), (tak jak chce klasyczna definicja potęgi), to dochodzi do złamania podstawowej zasady działań matematycznych, że wymnożenie przez 1 niczego nie może zmienić, gdyż tu, przy takiej konstrukcji kwadratu, podstawa potęgi (-2) w wyniku pomnożenia przez 1 zmieniła się w liczbę 2 i mamy równość (-2)^² = 2^² doprowadzającą do niebywałej równości

 (-2)=2 w podstawach,  gdy tymczasem tylko równe liczby mogą dać równe potęgi. Zatem klasyczna konstrukcja kwadratu liczby (-2): (-2)^²=(-2)*(-2) nie może być prawdziwa. Prześledźmy te same działania na konstrukcji kwadratu w dowiedzionej wyżej potędze realnej (-2)^²=(-2)*2. Pomnóżmy to przez 1:, 1*(-2)^²

=1*(-2)*2=(-1)*(-1)*(-2)*2=(-1)*2*(-1)*(-2)=(-2)*2=(-2)^².

Widzimy, że rzeczywiście wymnożenie przez liczbę 1 czegoś co jest prawdziwe niczego nie może zmienić i w przedstawionej poprawnej konstrukcji kwadratu liczby (-2) zachowana została podstawa potęgi.

Zmiany znaku podstawy potęgi na przeciwny możemy dokonać tylko poprzez działanie matematyczne wymnożenia przez liczbę(-1), np.: podstawę (-2) z potęgi (-2)⁴

zmienimy następująco, (-1)*(-2)^⁴=(-1)*1*1*1*1*(-2)^⁴=(-1)^⁴*(-2)^⁴=[(-1)*(-2)]^⁴=2^⁴ a nigdy mnożąc przez 1.

Dowód 3.

Zawiera wyznaczenie kwadratu liczby ujemnej niezależną metodą graficzną, różną od bezpośredniego mnożenia.

Rysunek 1,- określenie wartości kwadratów liczb ujemnych metodą geometryczną.

.

 Zbudowaliśmy trójkąt prostokątny na płaszczyźnie zorientowanej układem współrzędnych prostokątnych o ujemnych przyprostokątnych (-a) oraz (-b).

Ponieważ przyprostokątne są bokami ujemnymi to nie ma innej możliwości jak ta, że przeciwprostokątna musi być także ujemna. Wynika to z faktu, że jest ona sumą rzutów prostokątnych boków (-a) i (-b) na prostą której odcinek jest przeciwprostokątną. Jeżeli zatem boki (-a) i (-b) są ujemne to i ich rzuty są ujemne a tym samym ich suma stanowiąca przeciwprostokątną, jest ujemna (-c).

Po drugie kąt α jest zawarty między 0 a 90 stopni więc cos α przybiera wartości między 0 a 1, czyli jest dodatni. Tak więc przy ujemnej przyprostokątnej, te wartości cos α można uzyskać tylko wtedy gdy cos α= czyli przeciwprostokątna musi być ujemna.

Po określeniu znaku „ –„ przeciwprostokątnej możemy przystąpić do wyznaczenia wymiarów rzutów prostokątnych, przyprostokątnych na prostą, której odcinek jest przeciwprostokątną. Rzutami przyprostokątnych są odcinki które w wyniku rzutowania uległy skróceniu współczynnikiem cos kąta zawartego między rzutowanym elementem a rzutnią. W tym przypadku między rzutowaną przyprostokątną a przeciwprostokątną, stanowiącą rzutnię.

Są one równe: oraz 

Stanowią one  pełnych kwadratów. Suma tych rzutów jest równa  Mnożąc obustronnie tą równość przez dodatnią liczbę ϲ otrzymamy pełne kwadraty boków trójkąta, które to kwadraty utworzą równość: - a*a+(-b*b)=-c*c, czyli (-a)²+(-b)²=(-c)². Są to kwadraty potęgi realnej spełniające twierdzenie Pitagorasa tyle tylko, że w oparciu o liczby ujemne.

Z równości tej wyznaczymy przeciwprostokątną: 

Cały ten wywód przedstawimy na konkretnym przykładzie trójkąta o przyprostokątnych – 3 i – 4 oraz przeciwprostokątnej – 5 .

Rysunek 2, - wyznaczenie kwadratów liczb ujemnych metodą geometryczną na przykładzie określonych liczb.

Rysunek przedstawia rzuty prostokątne przyprostokątnych: (-3) i (-4) na prostą w której leży przeciwprostokątna. Wymiary tych rzutów to odpowiednio:

Suma tych rzutów jest wymiarem przeciwprostokątnej, tak, że: 

Rzuty te stanowią 1/5 pełnych kwadratów boków (-3) i (-4) więc ich pięciokrotne odłożenie na prostej której odcinek jest przeciwprostokątną, daje nam pełne kwadraty boków (-3) i (-4) w ten sposób że: 

Suma tych ujemnych kwadratów jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, który jest także liczbą ujemną: -9 +(-16)= -25=-5*5=(-5)².

Mamy więc równanie: (-3)²+(-4)²=(-5)², z którego możemy wyliczyć dowolny bok, np.:

   L=P, lub

Występowanie tu pierwiastka kwadratowego (parzystego stopnia) z liczby ujemnej jest w pełni uzasadnione gdyż pod pierwiastkiem drugiego stopnia znajduje się kwadrat stanowiący liczbę ujemną więc pierwiastek z tego kwadratu daje także liczbę ujemną.

Jest to wymowny dowód prawdziwości hipotezy o potędze realnej prezentujący ujemne kwadraty i ujemne pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych.

Dowód 4.

Wróćmy na chwilę do sprzeczności 1, by odpowiedzieć na pytanie, dlaczego uzyskujemy równość gdy w potęgowanej ujemnej liczbie wykładnik potęgi 3 rozszerzymy do  otrzymując:

 a nie uzyskujemy jej gdy wykładnik potęgi 3 rozszerzymy do  w wyniku czego otrzymamy:  Jeżeli wymnożymy znaki w potęgach nieparzystych to otrzymamy:

Widzimy, że (-2)³ jak i (-2)⁹ umieszczone pod pierwiastkiem, są po prostu potęgami realnymi dlatego uzyskuje się zgodny prawdziwy wynik.

Natomiast, jeżeli rozpisujemy   po wymnożeniu znaków jest to potęga liczby dodatniej,

 dochodzi do sprzeczności z takiego powodu, że pod pierwiastkiem nie występuje szósta potęga liczby (-2) czyli (-2)⁶= -1*2*2*2*2*2*2, lecz sześciokrotny iloczyn liczby (-2), który z powodu parzystości daje dodatnią liczbę 64 z której pierwiastek jest równy 8.

Musi więc to być równość: 

Dowód 5.

Jeżeli zapomnimy na chwilę o tym co dotąd przedstawiono i przyjrzymy się prezentowanemu kwadratowi i szeregom liczbowym:

a), 

b), 

c), 

d), 

 gdzie: , to zapewne każdy współczesny matematyk (i nie tylko matematyk) dałby głowę, że bez względu na to o jakich znakach są umieszczone w tych szeregach liczby, wynik z sumowania tych szeregów może być tylko jeden: dodatni.

Popatrzmy zatem jak to wygląda w realnej rzeczywistości, dla liczby 

Ad. a),

 uogólniony algorytm zliczający sumę tego szeregu to:

, lub równoważny:

Zwrócić należy uwagę na to, że poprawnie zbudowany uogólniony algorytm ze zmienną , jest wtedy, gdy po wprowadzeniu tej zmiennej uzyskujemy wynik zgodny ze stanem faktycznym uzyskanym drogą bezpośredniego zliczenia. Wyjątek stanowi tu wersja równoważna zbudowana z silni, gdzie nie możemy wprowadzić zmiennej (-a) jako, że silnia z definicji zbudowana jest z liczb należących do zbioru liczb naturalnych N=(0;1;2;3;…) stąd przed algorytmem równoważnym zbudowanym z silni umieszcza się znak  odpowiadający uzyskanej rzeczywistości z bezpośredniego zliczenia.

Dla (-a)=  -4 mamy: 

Ad. B),

, uogólniony algorytm zliczający to:

, dla (-a)=  -4, otrzymamy:

Ad. C),

,

Uogólnione algorytmy zliczające to:

, dla (-a)=  -4 otrzymamy:

Ad. D),

Uogólnione algorytmy zliczające ten szereg to:

Dla (-a)= -4, otrzymamy:

 Następny szereg ma algorytm, 

 Szeregi te tworzą coraz bardziej rozbudowane, symetryczne struktury.

Nie są to bynajmniej szeregi liczbowe utworzone wskutek rozważań akademickich, lecz szeregi mające swoje praktyczne zastosowanie. Spotkamy się z nimi w trygonometrii, stąd powinny mieć nazwę szeregów trygonometrycznych, o czym będzie mowa nieco dalej.

Widzimy, że szeregi liczbowe zbudowane z ujemnych liczb można zliczyć z potęgowych uogólnionych algorytmów tylko posługując się potęgą realną, co świadczy o jej prawdziwości.

Szeregi liczbowe o takiej samej strukturze jak kwadratowe szeregi trygonometryczne lecz których wyrazy pozostają w potędze pierwszej, spotkamy w rozwinięciach potęgowych dwumianu: (b+c)ⁿ, czy (b-c)ⁿ, gdzie dla potęgi różnicy, b>c i 

Gdzie, s –kolejny numer składnika liczony z pominięciem składnika bⁿ. Algorytm  umożliwia określenie każdego dowolnego, kolejnego składnika 

Współczynniki w kolumnie z c¹ ,jak: (-1);(-2);(-3);…, to kolejne liczby naturalne pomnożone przez (-1), dane wzorem  gdzie a to kolejne liczby naturalne z wyłączeniem 0.

Współczynniki w kolumnie z c², jak: 1;3;6;10;…, to kolejne sumy szeregu 1+2+3+…+a=

Współczynniki w kolumnie z c³, jak: (-1);(-4);(-10);(-20);…, to kolejne sumy szeregu

Współczynniki w kolumnie z c⁴, jak: 1;5;15;35;…, to kolejne sumy szeregu 

Współczynniki w kolumnie z c⁵, jak: (-1);(-6);(-21);…, to kolejne sumy szeregu 

Widzimy, że w potędze dwumianu (b-c)^ⁿ, gdzie (b-c)>0, występujące kolejne współczynniki uzyskujemy na przemian z dodatnich i ujemnych szeregów liczbowych których zliczenie z potęgowych uogólnionych algorytmów wymaga stosowania potęgowania zgodnie z definicją potęgi realnej.

Dla dwumianu (b+c)ⁿ, gdzie b i c >0 występują te same współczynniki ale uzyskiwane z szeregów z liczb dodatnich.

W potędze dwumianu (b-c)^ⁿ, gdzie (b-c) < 0, występują te same współczynniki co przy potędze (b-c) > 0 ale wymnożone przez (-1), więc kolejno: w kolumnie bⁿ występuje współczynnik (-1), w kolumnie z udziałem c¹ współczynniki 1;2;3;…, a z udziałem c² (-1);(-3);(-6);(-10);…, itd.

Wygodniejsze w użyciu algorytmy zbudowane z silni, zliczające te szeregi, dla (b-c) >0, zostały tak zmodyfikowane by były zależne od wykładnika potęgi dwumianu i tak przykładowo: trzecia suma szeregu (dla a=3) występująca w trzecim wierszu kolumny z wyrazami z udziałem c^³, ma współczynnik o wartości (-10), liczony z uogólnionego algorytmu dla liczb ujemnych:   zawsze tak się składa, ze silnia z licznika ułamka jest równa silni z wykładnika potęgi dwumianu dla wybranego wiersza z określonej kolumny zawierającej wyrazy spotęgowanego c, stąd licznik dla tego przykładu (a+2)!=n!, gdzie n to wykładnik potęgi.

Ponadto tak się składa, że silnia z nawiasu w mianowniku jest równa dla określonego wiersza wykładnikowi dwumianu tego wiersza, pomniejszonemu o kolejny numer składnika s, liczonemu z pominięciem składnika b^ⁿ, stąd (a-1)! =(n-s)!, i całe wyrażenie dla tego przykładu to: 

Z przedstawionych dotąd dowodów wyłania się obraz, że „ potęga” klasyczna liczb ujemnych potęgą tych liczb nie jest a jej definicja jest definicją n-krotnych iloczynów liczb ujemnych które z ich potęgą nie mają nic wspólnego. Szczególnie w zapisie o parzystym n np.: (-2)^²=(-2)*(-2), wykładnik n=2 nie jest wykładnikiem potęgowym tylko informującym ilokrotny jest to iloczyn tej ujemnej liczby. Tylko zbieg okoliczności sprawia, że gdy wykładnik jest nieparzysty to wartość uzyskana z takiego zapisu jest równa potędze a konkretnie potędze realnej np.:

(-2)^³=(-2)*(-2)*(-2)= -2*2*2= -1*2*2*2. W prawdziwej potędze, dowolna potęga liczby ujemnej jest liczbą ujemną. Dlatego (-2)^³= -8 jest prawdą, choć zapis, że (-2)^{^3}=

 (-2)*(-2)*(-2) jest niepoprawny mimo, że daje prawdziwy wynik.

Bez względu na to z jaką formułą matematyczną mamy do czynienia a na której to formule wykonujemy jakieś działania matematyczne doprowadzające w efekcie końcowym do zapisu, że np.: x^²=x*x, gdzie w x*x zapisany x >0, możemy powiedzieć, że ta formuła przedstawia sobą kwadrat liczby nieujemnej.

Niech taką formułą matematyczna będzie 4 –ro krotny iloczyn niewiadomej x < 0 zapisanej dla większej jasności jako (-x),gdzie x >0. Będzie to: (-x)*(-x)*(-x)*(-x).

To sformułowanie możemy bez wpływu na zmianę jego wartości wymnożyć przez liczbę 1, otrzymując: 1*(-x)*(-x)*(-x)*(-x)=(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-x)*(-x)*(-x)*(-x)=

=(-1)*(-x)*(-1)*(-x)*(-1)*(-x)*(-1)*(-x)=x*x*x*x, gdzie x > 0, otrzymaliśmy x*x*x*x=|±x|^4  gdzie x > 0. Widzimy, że wyrażenie (-x)*(-x)*(-x)*(-x) jest czwartą potęgą nieujemnej liczby x, tak jest z każdym ujemnym parzystym n –krotnym iloczynem, że nie jest on potęgą ujemnej liczby lecz potęgą takiej samej ale nieujemnej liczby.

Stąd uogólnienie, że dla każdego x, x^ⁿ o parzystym wykładniku n jest potęgą z wartości bezwzględnej lub większej od 0, o tymże wykładniku n.

Skoro przykładowy 2 –krotny iloczyn liczby ujemnej   jaką więc konstrukcję może mieć (-a)²?

Możliwość jest tylko jedna:  więc jest to potęga realna.

Zwróćmy jeszcze uwagę na głęboki sens matematyczny potęg o wykładnikach w postaci ułamka, jak , ich sens jest dosłowny a dotyczy liczebności czynników tworzących potęgę.

Jeżeli mamy przykładową potęgę ujemną, jak (-2)¹²= -1*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2, którą chcemy spotęgować wykładnikiem  to oznacza to dosłownie, że wybieramy  czynników z pośród 12, czyli  którą to liczebność następnie tak jak wskazuje zapis wykładników podwajamy czyli*2, 4*2=8.  

Otrzymujemy zawsze liczbę ujemną przy czym w potędze nie ma znaczenia kolejność działań, występuje tu przemienność mnożenia wykładników, to którą potęgę w kolejności mamy wykonać jest dowolne.

W „potędze” klasycznej, czyli n –krotnych iloczynach liczb ujemnych, tego sensu matematycznego nie ma, gdyż wydzielenie z iloczynu takiego:

, określonej ilości czynników daje zupełnie przypadkowe znaki wartości „+” czy „ –„ .

Np.: , musiało by oznaczać wybór 4 czynników spośród 12 co daje liczbę dodatnią (-2)*(-2)*(-2)*(-2)=16, ale  , musiało by oznaczać wybór 3 czynników spośród 12 co dało by liczbę ujemną (-2)*(-2)*(-2)= -8 i sprzeczność gdyż (-2)¹² byłoby liczbą dodatnią i pierwiastek czwartego stopnia z dodatniej liczby musiał by być dodatni. Brak tu jest tego pięknego sensu matematycznego w stosowaniu mnożenia wykładników potęgowych a wręcz panuje chaos, nakazy, zakazy i nieokreśloności.

To, że nakaz wykonania najpierw potęgi wykładnikiem 12 a dopiero później wykładnikiem  łamie zasadę przemienności mnożenia a co się z tym wiąże wprowadza zakaz istnienia parzystych pierwiastków z liczby ujemnej i automatycznie z tym związaną niemożność matematyczną działania odwrotnego w celu określenia jaką wyjściową liczbę podnosiliśmy do potęgi 12 gdyż by się tego dowiedzieć otrzymaną liczbę (-2)¹² musielibyśmy spierwiastkować pierwiastkiem o wykładniku parzystym 12 gdzie jest niezrozumiały zakaz uzyskania ujemnej liczby (-2) i zdobycie informacji, że to właśnie tą liczbę podnosiliśmy do potęgi 12. Wspomnę tu jeszcze o nieokreśloności potęgi z liczby ujemnej o wykładniku który nie da się zapisać jako   czyli o wykładniku niewymiernym. Między innymi tym różni się potęga od n –krotnych iloczynów, że każdy, w tym i niewymierny, wykładnik potęgi ma sens matematyczny, którego brak jest n –krotnym iloczynom. Dla przykładu (±a)^R , gdzie R: liczby rzeczywiste, określamy do wymaganej dokładności np.: 3.1415926 (siedmiu miejsc po przecinku) jest to równe wykładnikowi: 31415926*1/10000000 i mamy przybliżenie: 

Wektory.

Popatrzmy jak współcześnie konstruujemy szereg liczbowy pod względem wielkości: -8<-3<-1<0<+1<+3<+8, zastanówmy się czy jest to poprawne. W zapisie tym najmniejszą liczbą jest -8 i czym bardziej na lewo osi liczbowej, tym mniejsze liczby. Po pierwsze same powszechne  odczucie, że coś może być mniejsze od „nic” czyli 0, jest niepojęte. Na lewo osi liczbowej od 0 była by w końcu najmniejsza liczba „-∞”. Idąc tym tokiem rozumowania była by ona tak mała, że stanowiłaby odwrotność liczby największej Historycznie liczby ujemne w rozliczeniach kupieckich były traktowane jako „dług”, czy zatem dług (-8) zł jest mniejszy od długu (-1) zł, z pewnością nie i relacja nie jest taka,

że (-8)<(-1) lecz , że (-8)>(-1). Powstające zadłużenie to proces odwrotny do gromadzenia kapitału i tak należy postrzegać liczby ujemne, nie jako mniejsze od 0, lecz powstałe w wyniku odwrotnego procesu do procesu rozpatrywanego na liczbach dodatnich. W tym ujęciu droga –s = -5m nie jest drogą mniejszą od 0, lecz pokonywaną w odwrotnym kierunku od drogi pokonywanej od 0 do +5m. Zatem nie relacja wielkości względem 0 lecz odwrotny (przeciwny) proces zjawiska tworzy liczby ujemne opisujące znakiem „ –„ to odwrotne zjawisko. Sama relacja między wielkościami liczb zależy od ich wielkości bezwzględnych za co poręcza długość rzutu wektora a nie jego zwrot.

W opisywanym tu zjawisku zadłużania się np. w tempie funkcji kwadratowej, (-1)²zł; (-2)²zł; (-3)²zł; … , można sobie darować znalezienie takiego banku który tak jak chce „potęga” klasyczna zapisze nam zaciągnięty dług jako stan naszego konta odpowiednio (-1)²=+1; (-2)²=+4; (-3)²=+9; …zł, tylko stan naszego konta będzie odpowiednio

 (-1)²=(-1); (-2)²=(-4); (-3)²=(-9); … zł, czyli tak jak to określa potęga realna.

Wracając do naszego wątku, iloraz ujemnej drogi –s przez wielkość jaką jest czas t daje nam wektor ujemnej prędkości:   . Co to znaczy ujemna prędkość? To np. pokonywanie drogi przez satelitę w odwrotnym kierunku do ruchu wirowego Ziemi na jednostkę czasu t.

Od ujemnego kwadratu prędkości już tylko krok do ujemnej energii kinetycznej:  , gdzie m, masa.

Definicja „klasycznej potęgi” jest diabelskim podrzutkiem ciasnym gorsetem ograniczającym dalszy rozwój ludzkości a przede wszystkim kierującym na manowce rozwój wiedzy matematycznej, fizycznej i astrofizycznej. Gorset ten uniemożliwia istnienie, coraz częściej postulowanej przez fizyków, energii ujemnej niezbędnej do istnienia tuneli czasoprzestrzennych jako, że energia całkowita E=m*c² bądź kinetyczna  co przy dodatniej masie m musi być większe od 0 jako, że prędkość c czy v w kwadracie potęgi klasycznej także są większe od 0 bo są w potędze 2 i nie ma możliwości istnienia ujemnej energii jako, że ona z definicji jest dodatnia, w tak rozpatrywanej potędze klasycznej. Tymczasem prędkość pochodzi od drogi z zależności  gdzie v to prędkość; s droga; t czas. Czas jest wielkością większą od 0 jako, że upływa w jedną stronę od przeszłości poprzez teraźniejszość ku przyszłości, droga natomiast jest wielkością wektorową i jako wektor ma swoją długość, zwrot w postaci grotu strzałki i kierunek czyli nachylenie względem osi liczbowej.

Ktoś może zarzucić, że droga nie może być ujemna jako wektor, to mu odpowiem, że jeśli wektor drogi jest zaczepiony w moim domu jako 0 i mam się przemieścić na zachód względem północy o -1000 metrów od swojego domu to nie istnieje taka ujemna droga? Czyżbym miał wędrować do tego upatrzonego miejsca na zachodzie tylko po dodatniej drodze kierując się na wschód gdzie jest oś liczbowa ,, +”,  dodatniej drogi obchodząc kólę Ziemską dookoła by dotrzeć do upatrzonego, odległego o kilometr od mego domu miejsca? Szkoda mego życia.  Wbrew wszyskiemu myślę jednak, że zachód jest osiągalny w prostrzy sposób J. Ujemne wektory przedstawiam w dalszej części tej pracy. Teraz jednak, skoro juź udowodniliśmy, źe kwadratem liczby -2 jest -2*2 to trzeba postąpić krok dalej i odpowiedzieć na pytanie co go utworzyło? Trzeba ten kwadrat spierwiastkować: sqrt(-4)=(-2). Tu dopiero wybuchnie larum wśród matematyków, wszak fałszywa potęga klasyczna nie dopuszcza istnienia pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych a tym bardziej ujemnego ich wyniku. Jak nie dopuszcza to tym gorzej dla niej, gdyż prawdziwa Potęga realna z powodzeniem ich istnienia dowodzi! W tym miejscu czas na uogólnienie, że: każda liczba ujemna różna od 0, poddana dowolnej potędze jest liczbą ujemną.

Odrębnego potraktowania wymaga potęga 0, z a = 0.

Czy droga od której pochodzi ta ujemna energia może być ujemna?. Oczywiście, że tak. Jeśli jesteśmy w jakimś miejscu (przyjętym za zero) to nie jest bez znaczenia czy aby dotrzeć do miejscowości A odległej od tego miejsca o przykładowe 2 km pójdziemy na zachód czy na wschód, jeśli ta miejscowość leży na zachodzie. Zatem droga pokonywana na zachód różni się w zasadniczy sposób od drogi pokonywanej na wschód, co musi mieć odbicie w matematycznym sposobie ich odróżnienia, albowiem do wyliczeń liczbowej odległości nie weźmiemy przecież wektora o odpowiednim zwrocie-a tym jest droga, ani też jej wartości liczbowej wyliczonej z sumy geometrycznej określonej dla tego przypadku  co przy y=0,

 i tak jak chce „potęga” klasyczna jest zawsze większe od zera skąd wynikałoby, że czy pójdziemy na zachód zgodnie z półosią –x, czy na wschód, zgodnie z półosią +x, to nie ma różnicy. I owszem jest, bo wówczas jest przymus poruszać się zgodnie z dodatnią półosią, czyli na wschód.  Wprawdzie dotarlibyśmy w końcu posuwając się w tym kierunku do pożądanej miejscowości A obchodząc Ziemię dookoła minus 2 km, choć prościej jest pójść na zachód pokonując drogę  = -2km. Jeżeli jest ujemna droga i ujemny jej kwadrat to jest i ujemna energia otrzymywana z kwadratu prędkości pochodzącego od tego ujemnego kwadratu drogi.

Możemy się o tym przekonać w prostym doświadczeniu. Wytnijmy kółko z kartonu a na jego krawędzi ząbek by móc go śledzić i obracajmy to kółko w płaszczyźnie poziomej zgodnie z kierunkiem narastającego kąta spoglądając na nie z góry  –obraca się w lewo. Obracając to kółko cały czas w tym samym kierunku, spójrzmy na nie od dołu, z punktu widzenia półkuli południowej i śledźmy kierunek przemieszczania się wyciętego ząbka a przekonamy się, że ten ząbek przemieszcza się w kierunku odwrotnym –w prawo. Jeżeli na to kółko spoglądać będziemy z poziomu, skąd nie widać płaszczyzny i jest ona zerowa, musimy wyciągnąć wniosek, że w zerze dochodzi do zmiany znaku wartości liczbowych czego nie należy mylić z tym, że jeśli znak jest „-„ to jest mniejszy od 0, lecz ten znak oznacza  przebieg określonej wielkości w przeciwnym kierunku.

Rozpatrzmy teraz rzut wektora na przestrzeń dwuwymiarową jaką jest płaszczyzna. Niech będzie ona zorientowana układem współrzędnych prostokątnych kartezjańskich, wówczas lokalizacja tego wektora opisywana jest dwoma składowymi: horyzontalną (poziomą) czyli osią x oraz wertykalną (pionową) czyli osią y, wzajemnie prostopadłymi z miejscem przecięcia się pod kątem 90 stopni w punkcie 0. Tą przestrzeń dwuwymiarową możemy podzielić na cztery ćwiartki. Jeżeli wektor jest zaczepiony w punkcie 0 tak by mógł  się zmienić jego kierunek o kąt   zgodnie z kierunkiem narastania kąta to w pierwszej ćwiartce między rzutami tego wektora na osie liczbowe x i y a tym wektorem, stanowiącym przeciwprostokątną p, istnieje relacja:  , zgodnie z rysunkiem.

Rysunek 3, wartość wektora przeciwprostokątnej p w I ćwiartce.

Widzimy, że wektor p którym jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych, x; y, ma zwrot skierowany od początku układu gdzie jest 0, w prawo, zgodnie z rosnącymi wartościami półosi liczbowej: +x.

Jeżeli kąt alfa przekroczy kąt graniczny 90 stopni to zwrot wektora przeciwprostokątnej p będzie skierowany przeciwnie, w lewo, od 0 w kierunku liczb ujemnych, ulokowanych na półosi (-x) i będzie przeciwprostokątna liczbą ujemną, zgodnie z objaśnieniem poniższego rysunku 4. Jeśli będzie to kąt graniczny równy 90 stopni to wektor przeciwprostokątnej będzie miał zwrot skierowany pionowo w górę zgodnie z półosią +y, ani w lewo ani w prawo, w pozycji tej dochodzi do zmiany znaku co wynika z ustaleń, że gdy  to rzut x=0 i w tym wypadku  , nie występuje tu składowa x a jej udział i znak decyduje o zwrocie wektora przeciwprostokątnej, ale jakiekolwiek zwiększenie tego  kąta granicznego powoduje, że wektor p algebraicznie i arytmetycznie zmieni znak na minus a graficznie będzie miał zwrot w lewo, bowiem w tym kącie granicznym dochodzi do zmiany znaku wartości z + na (-) gdy przekraczamy granicę I ćwiartki posuwając się w kierunku II ćwiartki lub odwrotnie, z (-) na +, gdy wektor przemieszcza się w kierunku odwrotnym z II ćwiartki do I ćwiartki. Z przedstawionych względów, nie może utrzymać się dotychczasowe przedstawianie wartości algebraicznej jako ogólnego np.: a, ta wielkość algebraiczna tak jak arytmetyczna musi posiadać jeszcze znak „+ lub –„ chociażby z tych względów, że jej potęga, np.: kwadrat, (gdy a jest ujemne),  to nie a*a lecz –a*a, więc musi być oznakowana, tylko ze względów praktycznych i oszczędnościowych pomija się stawiania znaku + gdy wartość jest nieujemna. Jest to również niezbędne ze względu na konieczność posiadania informacji czy opisywane przez wielkość algebraiczną zjawisko jest proste (czyli ma znak dodatni), czy przebiega w odwrotnym kierunku, (i ma wówczas znak ujemny), nie może tu być anonimowości. 

Przykład 3.

Rozważmy rzut prostokątny wektora na prostą którą jest oś liczbowa: od –x poprzez 0 do +x. Dla ułatwienia niech początek wektora będzie zakotwiczony w punkcie 0 i ma kierunek względem tej prostej pod niewielkim kątem ostrym a i zwrot zgodny z narastającą półosią +x. Można wykazać, że rzut tego wektora na tę półoś +x jest także wektorem ale skróconym współczynnikiem cosa , co wynika z tego, że powstaje trójkąt prostokątny o kącie a ; przyprostokątnej leżącej na prostej ,,x” , drugiej przyprostokątnej: y naprzeciw kąta, oraz przeciwprostokątną p będącą rzutowanym wektorem na przyprostokątną ,,x” przyległą temu kątowi.

Wówczas zachodzi równość w pierwszej ćwiartce okręgu trygonometrycznego:

cosa=x/p, gdzie p to wektor: p=sqrt(x²+y²) => cosa=x/sqrt(x²+y²)=sqrt(x²)/sqrt(x²+y²) => cosa/(sqrt(x²)/sqrt(x²+y²))=1=cosa*sqrt(x²+y²)/sqrt(x²) => sqrt(x²)=cosa*sqrt(x²+y²) = > cosa*p=x  c.b.d.o.

 Rzuty wektora są także wektorami ,,x”. A co będzie gdy cos kąta będzie powyżej 90 stopni i ,,p” będzie w II ćwiartce rzutowany na półoś ,,- x” ? Wykazaliśmy, że cos α*p jest wektorem x, a x może przybierać wartości dodatnie i ujemne, ten wektor jako rzut ma skrócenie przez wymnożenie przez cos α, stanowiący zwrot nachylenia i grot strzałki skierowany zgodnie z narastającymi liczbami x gdzie może być dodatni i ujemny, zaczepione w 0, nie zaś jak błędnie określa Potęga klasyczna-tylko dodatni bo jest wynikiem geometrycznego dodawania dwócz wielkości, które zgodnie z Potęgą klasyczną są kwadratem przedstawiając wartość bezwzględną. Wartość bezwzględna dotyczy tymczasem tylko długośći wektora.

Rysunek 4, wartość wektora przeciwprostokątnej p w II ćwiartce.

Widzimy, że wektor przeciwprostokątnej w ujęciu graficznym ma zwrot w lewo co w ujęciu algebraicznym i arytmetycznym odpowiada znakowi „ –„ czyli ma wartość liczby ujemnej, zatem jest przeciwny niż w I ćwiartce.

Znajdziemy tego potwierdzenie wyznaczając cosinus kąta beta, który jest równy β=180-α i jest kątem ostrym, zatem jego cosinus jest zawarty między 0 a 1 czyli jest dodatni.

Tą dodatnią wartość uzyskamy tylko wtedy gdy w tej ćwiartce cosβ= -x/(-p), więc przeciwprostokątna musi być ujemna. Dodatkowym potwierdzeniem jest fakt, że ujemny rzut –x, można otrzymać tylko z rzutowania ujemnej wartości.

Nadając elementom utworzonego trójkąta prostokątnego wartości arytmetyczne np.: -x =-4; y=3; -p=-5 uzyskujemy równanie: cosα= cos(180 – β), a ponieważ cosinus różnicy kątów: 

cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB, to dla tego przypadku, cos(180-β)=cos180*cosβ +sin180*sinβ= -1*cosβ+0= -1*-x/-p =różnicy kątów: -1*(-4)/(-5) =>

cosα = (-4)/5.

Ponadto, sinα = sin(180 – β) a ponieważ sinus różnicy kątów to: sin(A-B) = sinA*cosB – cosA*sinB, dla tego przypadku będzie to więc:

Sin(180 – β) =sin 180*cos β – cos 180*sin β = 0 – (-1*sin β = sin β => sin α = sin β = 3/5, jako, że beta jest kątem ostrym więc jego sinus jest liczbą dodatnią.

Musimy zwrócić uwagę na dwa aspekty konstrukcji trygonometrycznej, po pierwsze, to to, że zarówno sinus jak i cosinus kąta alfa stanowią   część boków (przyprostokątnych) trójkąta, zatem i przeciwprostokątna (-5) musi również stanowić w tej konstrukcji   swej długości czyli ma to być  , ta ułamkowa część to . Kwadraty tych wielkości to:

 ; .

Po drugie, żeby uzyskać równość trygonometryczną dla II ćwiartki musimy, co łatwo zauważyć, stosować przy sumowaniu kwadratów funkcji trygonometrycznych następujący rachunek:

Dla tego przypadku będzie to:

Otrzymaliśmy bezpośredni związek między sumą kwadratów funkcji trygonometrycznych i kwadratami boków trójkąta prostokątnego opisującego rzut wektora wodzącego na przestrzeń dwuwymiarową jaką jest płaszczyzna dla II ćwiartki.

Z algorytmów tych (zaznaczonych tłustym czerwonym drukiem) możemy wyznaczyć dowolny ich element w potędze pierwszej:

 ;

 ;

.

 ;

 ;

.

Istnieje jeszcze jedna równość dla tych funkcji trygonometrycznych, a mianowicie: , czyli .

Równość choć prawdziwa to jednak całkowicie nieprzydatna gdyż z wartości bezwzględnych nie da się wyliczyć elementów składowych wyrażanych w potędze pierwszej a na niej bazuje nieprawdziwa „potęga” klasyczna gdyż jest to inaczej , dobrze znane twierdzenie w tej potędze a charakterystyczne dla wszystkich ćwiartek płaszczyzny stosowaną w nieprawdziwej potędze klasycznej.

Zostanie wykazane, że nie oprze się to twierdzenie krytyce.

Wróćmy na chwilę do rysunku 3 ilustrującego zaszłości w I ćwiartce. Niech wektor wodzący przeciwprostokątnej p=1 a kąt alfa niech ma 30 stopni, to wówczas w utworzonym trójkącie prostokątnym  .

Niech się teraz wektor przeciwprostokątnej przemieści do II ćwiartki i zajmie pozycję kąta alfa 150 stopni, otrzymamy wówczas zwierciadlany obraz z I ćwiartki, w II ćwiartce, z osią symetrii y, jak na rysunku 4 z tym, że –x =cos 150; y= sin 150.

Wyliczymy, że  ,

Oraz  .

Podstawimy te wartości do algorytmu, tak jak chce „potęga” klasyczna:  , dla kąta alfa 150 stopni.

Równanie niby prawdziwe ale nic dziwnego skoro jest to zakamuflowana forma równania:  .

Chociaż jest to równanie prawdziwe to wcale nieprzydatne gdyż z wartości bezwzględnych nie da się wyliczyć realnych wartości.

W wyniku wyliczeń przy pomocy „potęgi” klasycznej otrzymaliśmy wartość wektora przeciwprostokątnej w II ćwiartce taką samą jak dla I ćwiartki. Czy to nie dziwne?.

Na miły Bóg, nie trzeba korzystać z pomocy okulisty by widzieć, że wyliczenia „potęgi” klasycznej są błędne gdyż porównując wektory z I i II ćwiartki (rys 3 i 4 po wprowadzeniu zmian dla kąta alfa 30 i 150 stopni oraz p=1) widzimy wyraźnie, że nie są to te same graficzne wektory jak wyszło z wyliczenia i graficznie mają przeciwne zwroty. W I ćwiartce zwrot jest w prawo a w II w lewo więc nie są takie same czyli algebraicznie i arytmetycznie zwrot z II ćwiartki, skierowany w lewo wskazuje, że wektor ma przebiega w odwrotnym kierunku niż z ćwiartki I co w ujęciu algebraicznym i arytmetycznym odpowiada jego ujemnej wartości.

Ale w „potędze” klasycznej nie może wyjść inaczej jak źle gdyż jest to to samo co . Wektor w niej jest zawsze dodatni gdyż jest wartością bezwzględną.

Spróbujmy wyliczyć z tego cos 150 stopni: 

Widzimy, że matematycznie w tej potędze nie da się tego zrobić, jedynie z praktyki wiemy, że cosinus tego kąta jest ujemny więc stawia się znak „ –„ i basta a to musi wyjść nie inaczej jak z działań matematycznych.

Spróbujmy posłużyć się potęgą realną gdzie dla II ćwiartki mamy algorytm: 

Wyliczymy wszystkie boki utworzonego trójkąta w tej ćwiartce:

 ;

 ;

 .

Widzimy, że posługując się potęgą realną daje się wyliczyć wszystkie parametry trójkąta prostokątnego z tej ćwiartki, matematycznie i bezbłędnie.

Niech się teraz wektor przeciwprostokątnej przemieści do III ćwiartki o kąt alfa 210 stopni. Jeżeli w I ćwiartce miał on wymiar 1 to tu wymiar będzie – 1 i utworzy trójkąt prostokątny o wymiarach:  . Wykażę graficznie i arytmetycznie prawdziwość relacji między bokami utworzonego trójkąta prostokątnego, która opisana jest algorytmami: a) dla funkcji trygonometrycznych:  ; b) dla kwadratów boków:  , gdzie kwadraty są ujemne.

Rysunek 5, wartość wektora przeciwprostokątnej w III ćwiartce.

Rysunek przedstawia wektor przeciwprostokątnej ( – p ) powstałej w wyniku przemieszczenia się wektora p do III ćwiartki z początku I ćwiartki o kąt alfa 210 stopni.

Wektor ten tworzy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi zaznaczonymi czerwonymi strzałkami, stanowiącymi długość rzutów tego wektora na zorientowaną układem współrzędnych prostokątnych przestrzeń dwuwymiarową jaką jest płaszczyzna opisywana parametrami . Określimy wymiary tych rzutów dla kąta 210 stopni i przypadku gdy wektor w I ćw. p=1.

  ;

 .

Relacje między bokami utworzonego trójkąta prostokątnego opisane są algorytmem:   . Pokażę arytmetycznie, w oparciu o potęgę realną, że jest to prawda. Wektor przeciwprostokątnej w III ćwiartce arytmetycznie jest ujemny, ma graficznie przeciwny zwrot niż w I ćwiartce. Oba te fakty znaczą tyle, że wektor przebiega w przeciwnym kierunku licząc od 0 niż w I ćwiartce.

Przedstawiony na rysunku mniejszy kwadrat, zakreskowany na żółto, jest geometrycznym przedstawieniem ujemnego pola kwadratu funkcji trygonometrycznej:

 . Umieszczony tu fragment:  -y*x= -y*y, ma uzasadnienie w tym, że wartość x jest odpowiednikiem cosinusa, który wyprzedza wartość sinusa, reprezentowanego przez y, o kąt 90 stopni. Więc tę samą wartość x=cosinus ma przesunięty do przodu o 90 stopni y=sinus, stąd uzasadniona przedstawiona równość.

Drugi, większy zakreskowany na żółto kwadrat, jest geometrycznym przedstawieniem ujemnego pola, kwadratu funkcji trygonometrycznej:

 .

Suma tych obu ujemnych kwadratów jest  równa polu ujemnego kwadratu przeciwprostokątnej, zakreskowanego na kolor niebieski, który to kwadrat gdyby cofnąć wokół punktu 0 o kąt 30 stopni zajął by pozycję większego żółtego kwadratu a jego pole powierzchni było by wówczas większe od pola większego żółtego kwadratu o powierzchnię zakreskowaną niebieskimi liniami przerywanymi o polu powierzchni równej polu mniejszego żółtego kwadratu. Wykazując równość i wartość ujemną powierzchni pola zakreskowanego niebieskimi liniami przerywanymi z ujemnym polem żółtego mniejszego kwadratu wykażemy tym samym równość ujemnego kwadratu przeciwprostokątnej zakreskowanego na kolor niebieski, z sumą ujemnych kwadratów zakreskowanych liniami żółtymi, tym samym prawdziwość twierdzenia dla III ćwiartki: .

Pole zakreślone niebieskimi przerywanymi liniami składa się z dwóch trapezów otrzymanych przez jego podział przerywaną linią czerwoną. Pole trapezu  .

W pierwszym z nich:

.

.

Wykazaną równość kwadratu przyprostokątnej –y z ujemnym polem dwóch trapezów, uwidocznioną w równaniu kwadratów funkcji trygonometrycznych można rozszerzyć na dowolny trójkąt prostokątny z III ćwiartki przestrzeni dwuwymiarowej i wykazać, że pole takich trapezów zsumowane z kwadratem przyprostokątnej –x jest równe kwadratowi przeciwprostokątnej, której kwadrat jest tym samym równy sumie kwadratów przyprostokątnych –x i –y .

Wyznaczmy pole powierzchni dwóch trapezów:  , gdzie, .

Po dodaniu do tego pola, pola kwadratu przyprostokątnej: -x₁*y₁, które wciągniemy do nawiasu otrzymując:

Analogicznie jak dla rozpatrywanych wcześniej funkcji trygonometrycznych, 

Po przemieszczeniu się wektora przeciwprostokątnej do IV ćwiartki np.: o kąt 330 stopni musimy zauważyć, że będzie on w tej ćwiartce, po przekroczeniu kąta granicznego 270 stopni, miał graficznie zwrot skierowany w prawo od 0 zgodnie z kierunkiem półosi +x więc będzie arytmetycznie dodatni. W granicznym kącie 270 stopni leży on na półprostej (-y) i jest skierowany ni w lewo ni w prawo, dochodzi w tym kącie do zmiany zwrotu wektora z lewego na prawy co algebraicznie i arytmetycznie odpowiada zmianie znaku z – na +.

Rysunek 6, wartość wektora przeciwprostokątnej w IV ćwiartce.

Zgodnie z rysunkiem rzut wektora przeciwprostokątnej na półoś –y jest równy przyprostokątnej:

 , zaś rzut na półoś +x jest równy:

 .

Relacja między kwadratami elementów utworzonego trójkąta prostokątnego IV ćwiartki, w ujęciu potęgi realnej, dana jest algorytmami:

a)dla funkcji trygonometrycznych:  ,

z algorytmu tego możemy drogą matematyczną określić wartość dowolnej wymienionej funkcji trygonometrycznej tej ćwiartki np.:

=>;

 ;

 ,

b) dla kwadratów boków dowolnego trójkąta prostokątnego tej ćwiartki: 

np.: , dla tych wartości wyliczamy:

 ;

 ;

 ;

 .

Związek między bokami dowolnego trójkąta prostokątnego a wartościami funkcji trygonometrycznych  dowolnej ćwiartki jest taki, że te otrzymujemy w wyniku podzielenia boków trójkąta przez wartość bezwzględną wektora przeciwprostokątnej , która to wartość stanowi długość wektora (bez strzałek jego zwrotu) i jest zarazem promieniem r, koła zataczanego przez wektor przeciwprostokątnej, który ma właśnie tę długość. Trzeba jasno podkreślić, że promień nie jest wektorem tylko jego długością i kreśli tylko tor po którym porusza się grot strzałki wektora przeciwprostokątnej przemieszczającego się przez kolejne ćwiartki przestrzeni dwuwymiarowej.

Z boków trójkąta jak dla tego przypadku gdzie 

Możemy przekonać się, że nie uda się nam matematycznie, posługując się „ potęgą” klasyczną, gdzie dla wszystkich ćwiartek obowiązuje jeden algorytm , wyliczyć wartość 

Nie da się z wartości bezwzględnych czyli „potęgi” klasycznej wyliczyć sin 330 stopni. Ponieważ jednak z praktyki wiadome jest, że jest to wartość ujemna więc stawia się znak „ –„ przed pierwiastkiem co załatwia sprawę, tymczasem ma on wynikać nie tylko ze spostrzeżeń praktycznych lecz i  działań matematycznych.

Podsumujmy. 

Wyjaśnienia wymaga skąd jak np.: dla II ćwiartki, , otóż cosinus alfa w tej ćwiartce jest liczbą ujemną, której kwadrat zgodnie z definicją potęgi realnej, jest iloczynem tej liczby ujemnej i takiej samej liczby dodatniej czyli ,

czyli jest to rzut x mający przebieg w odwrotnym kierunku aniżeli rzut (-x) otrzymany w wyniku przemieszczenia się wektora przeciwprostokątnej od 0 stopni o kąt alfa do II ćwiartki. Ten rzut dodatni na półoś +x powstał w wyniku rzutowania wektora przeciwprostokątnej, która przemieściła się o kąt (a-180) i jest równy cos(a-180).

Potęga pierwsza a potęga zerowa.

Wróćmy do rysunku 3 aby określić potęgę pierwszą. Niech x=3; y=4; a przeciwprostokątna c=5. Wówczas liczba x=3 z osi liczbowej jest rzutem prostokątnym przeciwprostokątnej c na tą półoś +x, który to rzut jest skróceniem c=5 współczynnikiem cosα. Stąd mamy równość: 3=c*cosα, z której wynika: .

Niech kąt α wzrośnie tak by c znalazło się w II ćwiartce jak na rysunku 4, dając rzut prostokątny: -x=-4. Wówczas –x=-4 jest rzutem przeciwprostokątnej –c która uległa skróceniu współczynnikiem cosβ=cos(180-α). Kąt β jest kątem ostrym, zatem jego cosinus jest zawarty między 0 a 1 i jest dodatni. Tą wartość dodatnią będzie miał tylko wówczas gdy cosβ=, więc przeciwprostokątna w tej ćwiartce musi być ujemna: -c=-5.

Otrzymujemy wówczas równanie: .

Nawiązując do definicji potęgi realnej i przyjmując różne wartości przeciwprostokątnych ±c w zakresie liczb rzeczywistych różnych od zera, otrzymamy potęgę pierwszą dowolnej liczby ujemnej:, lub dodatniej:.

Z potęgi pierwszej dochodzimy do potęgi zerowej (zastąpimy ±c przez ±ɑ), na razie z ±ɑ różnego od 0.

.

.

Przemieśćmy teraz przeciwprostokątna np.: c=5 z rysunku 3 o kąt α=90°. Wtedy jej rzut prostokątny na półoś liczbową +x jest równy 0 i mamy równanie:

.

Niech przeciwprostokątna z rysunku 4, -c=-5 przemieszcza się z II ćwiartki w kierunku I, tak by kąt β był równy 90°. Dla tego przypadku jej rzut prostokątny również przyjmie wartość 0

O równaniu: .

Dla tego granicznego kąta α=β=90° mamy jednocześnie dwa równania:, które uogólnimy do jednego: , a następnie zapiszemy w formie równoważnej: . Z równania tego otrzymamy: .

Zauważmy, że  wtedy i tylko wtedy gdy , co zapiszemy w skrócie w szerszym uogólnieniu: .

Przyjęte wprawdzie jest, że nie dzielimy przez 0 ale dotyczy to tylko liczb nie zaś 0.

Zapiszemy to zgodnie z definicją potęgi realnej:

.

Równość: ±*±=± , ma taki sens werbalny, że oznacza: zmiana znaku z + na – razy zmiana znaku z + na – (co jest potocznym masłem maślanym), jest równe zmianie znaku z + na -, potwierdza to rachunek: . Sign(±0) ≠0 jak się sądzi, tylko sign(±0)=± i oznacza, że w centrum układu współrzędnych prostokątnych jest miejscem geometrycznym stanowiącym strefę a nie punkt, gdzie dochodzi do zmiany znaku.

±1js –jedna jednostka; nieskończoność fizyczna, bezwymiarowa. Ustalenie wielkości tych jednostek leży bardziej w gestii fizyki  i kosmologii niż matematyki dlatego odsyłam do innej mojej pracy ,,Największa tajemnica Biblijna-kalendarz”, gdzie te kwestie są rozstrzygane. Dość powiedzieć, że nieskończoność fizyczna, w odróżnieniu od nieokreślonej nieskończoności matematycznej, ma realną wielkość, stąd nazwa, a poniewarz potęga jest z nazwy realna więc na realnych wielkościach bazuje. Podam jakie są realne wielkości przedstawionych jednostek ustalonych na czas współczesny 2012 roku ery nowoźytnej. Dane zaczerpnięto z mojego kosmologicznego modelu Wszechświata w kształcie toroidy z wirującym dyskiem z relatywnymi, bardzo bliskimi światłu prędkościami. Dyskiem utkanym z  galaktyk, umieszczonym w równiku toroidy. Toroida ma podobieństwo do napompowanej dętki samochodowej z bardzo małą dziurką w miejscu felgi. Modelu prezentowanego w wyżej polecanej mej pracy.

 [m]

Wróćmy jeszcze raz pamięcią do doświadczenia z wyciętym z kartonu kołem. To wycięte koło posłuży za fizyczny model dla określenia potęgi pierwszej, po właściwym jego ustawieniu w przestrzeni trójwymiarowej. Ustawimy go pionowo „en face” w stosunku do oka obserwatora, będzie to pozycja I. Od centrum koła narysujemy poziomą półoś +x, oznaczoną na końcu grotem skierowanym w prawo, w kierunku coraz większych liczb umieszczanych na tej półosi, wyznaczanych przez promienie r=I±aI, (promień tego wyciętego koła jest tylko pojedynczym ich przykładem), oraz prostopadłą do półosi +x, półoś +y od centrum na zewnątrz koła. Obracając to koło z prawa w lewo, zgodnie z kierunkiem narastania kąta α, przyjmujemy, że jest to półoś liczb rzeczywistych dodatnich +a. Przenosimy teraz oko obserwatora widzącego płaszczyznę koła z pozycji I „en face” do pozycji nad tą płaszczyznę która zachowuje swoje pierwotne położenie, będzie to pozycja II. Z tej pozycji oko obserwatora nie widzi płaszczyzny gdyż jest ona dwuwymiarowa o długości x szerokości y i nie ma trzeciego wymiaru „grubości”. Wprawdzie karton z którego wycięto koło ma swoją grubość, więc oko obserwatora będzie widziało z tej pozycji odcinek prostej o grubości kartonu, ale musimy przyjąć, że w rzeczywistości tej grubości nie ma,  (kartonowy model jest niezupełnie doskonały, ma grubość, trzeba się umówić, że przedstawiony będzie w postaci linii).

Przemieśćmy teraz oko obserwatora do pozycji III na przeciwną stronę, z tyłu, w stosunku do pozycji I, en face. Jeżeli obracać będziemy to koło w tym samym kierunku co miało miejsce w pozycji I, to oko obserwatora z pozycji III musi zaobserwować, że koło obraca się w przeciwnym kierunku niż obserwowało to wcześniej i porusza się z lewa w prawo. Rysujemy więc na tej stronie poziomą półoś od centrum w lewo, na zewnątrz koła, z grotem skierowanym w tymże kierunku zgodnie ze wzrastającymi od centrum wielkościami liczbowymi i oznaczamy –x. Ma to znamionować przeciwny kierunek ruchu wywołany przeciwnym, minusowym przebiegiem drogi niż w pozycji I. Na niej znajdują się rzeczywiste ujemne liczby, –a opisujące zjawiska o odwrotnym przebiegu niż z półosi +x a na niej +a. Dodajemy półoś –y, skierowaną prostopadle od centrum w dół. Nie z pomyłki napisano trzy zdania wyżej, że na tej ujemnej półosi umieszczone są liczby wzrastające od centrum do coraz większych wielkości, lecz z faktu, że we współczesnej matematyce błędnie przedstawia się relacje większościowe między liczbami.

Wróćmy do modelu i zauważmy, że wyrysowane zostały półosie:  -x i –y charakterystyczne dla III ćwiartki układu współrzędnych prostokątnych, ćwiartki właściwej dla opisu zjawisk o odwrotnym czy też przeciwnym więc minusowym przebiegu niż w ćwiartce I. Ćwiartka ta jest przesunięta względem ćwiartki I o 180 stopni, właśnie o tyle, o ile przemieściło się oko obserwatora więc wszystko się zgadza. Z tej III pozycji nie widzimy tego co wyrysowaliśmy w pozycji I, bo oko obserwatora jest po drugiej stronie płaszczyzny kółka. Wiemy jednak co wyrysowaliśmy na drugiej stronie gdy oko było w pozycji I. Dorysowujemy więc i tu to samo, czyli półosie +x i +y, które stanowią nasz podgląd, monitoring, tego co się dzieje po przeciwnej stronie płaszczyzny, w ćwiartce I. Wracamy do obserwacji na stronę z pozycji I, gdzie mamy wyrysowane półosie +x i +y, dorysowujemy niewidoczne z tej pozycji a właściwe dla umieszczonej po przeciwnej stronie,  półosie III ćwiartki (-x) i (-y), stanowiące odwrotnie niż w poprzednim przypadku, podgląd czyli monitoring tego co się dzieje, w tej niewidocznej z tej pozycji, ćwiartce III. Mamy więc po obu stronach płaszczyzny naniesione układy współrzędnych prostokątnych, ale jak opisano wyżej, z ćwiartkami I i III, które dla każdej ze stron płaszczyzny mają odmienny charakter. Na półosiach ±x lokują się rzeczywiste liczby ±ɑ w potędze pierwszej które za pomocą funkcji f(x)=(±x)^{^1}, stanowiącej wykres prostej przebiegającej pod kątem 45 stopni między półosiami +x i +y oraz (-x) i (-y), możemy odwzorować na półosie ±y.

Gdybyśmy dokonali bardzo, bardzo dużego powiększenia centrum okazało by się, że ta funkcja nie jest ciągła w przedziale dla x, jak na rysunku 9,

 od sqrt(+1js/ꝏf ) do sqrt(-1js/ꝏf ), stanowiącym strefę centrum oznaczonym na tym rysunku żółtym polem. Jeśli będziemy obserwowali płaszczyznę z pozycji II, z której płaszczyzna jest niewidoczna, to jednak w oparciu o obserwacje z wcześniejszych pozycji I i III, mamy podstawę wyciągnąć słuszny wniosek, że w centrum układu, którym jest strefa o określonej rozciągłości, dochodzi do zmiany znaków z + na -  i wartość tych znaków ta strefa przyjmuje. Jest w płaszczyźnie dziurka uwidoczniona żółtym polem gdzie nie ma już liczb a co najwyżej zarys oznaczony liniami przerywanymi gdzie mogła by być kontynuacja osi liczbowych aż do ich przecięcia się gdyby nie było dziurki. W potędze realnej, pierwszej ćwiartki, którą dla wykładnika potęgi 1 zapisujemy jako   , co dla przypadku gdy a=0, będzie: , oraz dla III ćwiartki , co dla przypadku gdy a=0, będzie: . Te dwa równania uogólnimy do jednego:  a ponieważ (±0)=0, otrzymamy , nie ma innej możliwości jak prawą stronę przyrównać do 0: ±*0=0 a ponieważ obie strony równają się 0 i 0 możemy dzielić przez 0 to ostatnią równość podzielimy obustronnie przez 0, otrzymując

⇒. Tą drogą doszliśmy do równoważności w potędze realnej, że . Ponieważ do takich samych wyników doszliśmy w rozpatrywanej wcześniej potędze, możemy wnioskować, że nie ma znaczenia w której potędze jest 0 wynik zawsze sprowadza się do tego, iż 0 w każdej potędze jest równe 0⁰=± i nie jest to matematyczny punkt tylko strefa, dziurka, o określonych fizycznych parametrach, gdzie funkcje matematyczne zmieniają znaki wartości ± i tracą ciągłość.

Równania kwadratowe i funkcje.

1. Funkcja 

2. Równanie kwadratowe: 

Ad 1. Dla celów poglądowych należałoby teraz użyte w doświadczeniu kółko z kartonu zastąpić kółkiem z przezroczystego pleksiglasu lub podobnego przezroczystego tworzywa. Po wyrysowaniu na nim, np.: flamastrem, półosi liczbowych +x i +y widzianych z pozycji I, wykreślić przebieg funkcji kwadratowej f(x)=(+x)², dobierając argumenty +a z półosi +x. Nad górnym końcem wykreślonej funkcji zaznaczyć strzałką kierunek obrotów koła zgodny z kierunkiem narastania kąta α, przy założeniu, że półosie +x i +y pozostają nieruchome.

Obserwujemy teraz to co wykreśliliśmy w pozycji I obserwatora, przenosząc się z obserwacją na drugą stronę płaszczyzny do pozycji III. Z niej widzimy obraz tego co wykreśliliśmy w pozycji I obrócony o 180 stopni, w II ćwiartce, łącznie z kierunkiem obrotów zaznaczonych strzałką. Widzimy, że jest to obraz fałszywy gdyż nie to przed chwilą wykreślaliśmy. Widzimy fałszywy obraz wykreślonej funkcji a odwzorowującej fałszywe kwadraty na półosi +y, fałszywej „potęgi” klasycznej. Temu fałszerstwu nie damy się jednak zwieść, demaskuje je zaznaczony strzałką kierunek obrotów jak i oznakowanie półosi znakiem +x. Z wcześniejszych rozważań  wiemy, że z pozycji III widzimy podgląd, monitoring I ćwiartki. Przyłóżmy więc zwierciadło, prostopadle płaszczyzną do płaszczyzny z tym obrazem, wzdłuż półosi +y, lustrem zwróconym w stronę fałszywego obrazu a będziemy w nim widzieli jak wygląda właściwy obraz monitorowanej I ćwiartki. Taki wykreślimy na kółku z kartonu po stronie widzianej z pozycji III, mając świadomość, że jest to monit obrazu widzianego z pozycji I. Oczywiście,  jak rysujemy osie liczbowe ,,x” czy ,,y” musimy kółko zatrzymać, jak kółkiem obracamy to ten układ współrzędnych prostokątnych, kartezjańskich pozostaje sztywny i nie powinien się obracać wraz z naszym rysunkiem na kartonie, musimy uzbroić się w wyobraźnię.

Skoro oko obserwatora jest w pozycji III, do tego monitu dorysujemy na przezroczystym kółku, z pleksiglasu, przebieg tej funkcji dobierając argumenty (-a) z wcześniej wyznaczonej półosi (-x), podnoszone do kwadratu zgodnie z definicją potęgi realnej, gdzie:  , które to ujemne kwadraty wybieramy z wcześniej naniesionej półosi (-y), zaznaczamy strzałką na końcu wykresu kierunek obrotów obserwowany z tej pozycji. Ten wykres również nanosimy na kółko z  kartonu. W ten sposób mamy pełny obraz przebiegu funkcji widziany z pozycji III, składający się z:

a), członu f(x)=(-x)^2, właściwego dla pozycji III i mieszczącego się w III ćwiartce układu współrzędnych prostokątnych, kartezjańskich

 b), przejścia stanowiącego miejsce zerowe funkcji a będącego strefą geometryczną gdzie funkcja zmienia znak z (-) na (+), czyli tego co wnosi obserwator z pozycji II, oraz

c), członu f(x)=(+x)^2 , stanowiącego podgląd, monitoring tego co widzi obserwator z pozycji I i co jest właściwym przebiegiem funkcji w I ćwiartce tego układu.

Przemieszczamy oko obserwatora do pozycji I, by zaobserwować to co narysowaliśmy na przezroczystym kółku w III ćwiartce, w pozycji III. Z pozycji I widzimy fałszywy obraz tego co wykreśliliśmy w III ćwiartce przemieszczony do IV ćwiartki. Fałsz ten rozpoznajemy po kierunku obrotów umieszczonej strzałki. Podobnie jak w poprzednim przypadku przystawiamy zwierciadło zwrócone w stronę fałszywego obrazu by w nim zaobserwować właściwy przebieg wykresu dla III ćwiartki narysowany z pozycji III. Dorysowujemy na kartonie do już istniejącego przebiegu funkcji właściwej dla I ćwiartki i pozycji I, obraz z lustra, stanowiący podgląd, monitoring przebiegu tej funkcji w III ćwiartce, gdy oko obserwatora zajmowało pozycję III. Tym razem mamy pełen obraz składający się na przebieg funkcji  widziany z pozycji I obserwatora składający się z:

             a), członu f(x)=(+x)^2 , właściwego dla pozycji I a mieszczącego się w ćwiartce I.

             b), miejsca zerowego funkcji będącego strefą geometryczną gdzie funkcja zmienia znak z (+) na (-), o czym  wnosimy z pozycji II.

             c), członu f(x)=(-x)^2  , stanowiącego podgląd tego jak przebiega wykres funkcji widzianej i właściwej pozycji III, umieszczonego w III ćwiartce.

Niech Czytelnik nie da się zwieść fałszywym „mędrcom”, że prawdziwy przebieg funkcji kwadratowej to ten z II ćwiartki, który był przedstawiony jako fałszywy a który jest zgodny z definicją „potęgi” klasycznej. Otóż dalsza kontynuacja kreślenia przebiegu funkcji rozpoczętej od większych argumentów +a poprzez mniejsze i centrum, przenosi się dalej na półoś (-x) z argumentami (-a), mniejszymi przy centrum do coraz większych na zewnątrz półosi.

Żeby dotrzeć do półosi (-x) trzeba się przemieścić o 180 stopni, tak jak przemieszcza się oko obserwatora z pozycji I do pozycji III i wtedy dla pozycji III jest właściwa III ćwiartka a nie druga i w niej ma być kontynuowany dalszy przebieg funkcji. Przeanalizujmy: pierwsza ćwiartka zaczyna się półosią (+x) a kończy półosią (+y) do której jest 90ᵒ. Aby dotrzeć do półosi (-x) trzeba pokonać 180 stopni bo o tyle jest ona przesunięta i to jest początek III ćwiartki widzianej z pozycji III. Pokonując 180 stopni, by dotrzeć do półosi liczb ujemnych, to i również koniec I ćwiartki zamykany półosią (+y) o tyleż stopni musi się przemieścić i będzie to pozycja (-y). Więc jakim sposobem kontynuacja przebiegu funkcji może mieć miejsce w II a nie w III ćwiartce?, która to II ćwiartka przesunięta jest raptem o 90 stopni niewystarczających do osiągnięcia półosi (-x). To gdzie adwersarze mają kontynuować dalszy przebieg funkcji, wybierając argumenty z półosi (+y)?. Bo po 90 stopniach ta półoś jest umieszczona, a to ma być półoś (-x). Zastanówmy się jak przebiega wykres funkcji dla potęgi pierwszej. Dodajmy do tego jeszcze wykres funkcji dla potęgi o wykładniku n=3. Niech to nawet będą sześciany budowane zgodnie z „potęgą” klasyczną bo i tak nie dojdzie do sprzeczności gdyż przychylny dla „ potęgi” klasycznej zbieg okoliczności (nieparzysty wykładnik potęgi), powoduje, że jest ona również ujemna przez co nie wpada w sprzeczność. Gdzie jest kontynuacja przebiegu funkcji dla potęgi pierwszej i trzeciej po opuszczeniu I ćwiartki ? Ano w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych prostokątnych, gdzie żeby dostać się do ujemnej półosi (-x) trzeba przemieścić się o 180 stopni. To jak to jest w pojęciu fałszywych „mędrców”, żeby dostać się do półosi z ujemnymi liczbami (-x), dla potęgi o wykładniku nieparzystym trzeba przemieścić się o 180 stopni, a dla potęg o wykładniku parzystym by osiągnąć tą ujemną półoś (-x), już nie trzeba pokonać tych 180 stopni?

Przywodzi mi to na myśl pewną historyjkę kabaretową, gdzie dwóch takich rozwiązywało krzyżówkę. Jeden odgadywał wyrazy a drugi je wpisywał. Jak zaproponowany wyraz był za długi i nie starczało kratek by go wpisać, to odgadujący hasła doradzał: nie wiesz co zrobić, zacieśniaj, zacieśniaj. Jeśli był za krótki i pozostawał nadmiar kratek do wpisu, to doradzał: rozciągaj, rozciągaj. Puenta jest taka, że nie ważny jest obiektywizm, ważne by pasowało do ogólnie przyjętych sloganów, choćby tak bzdurnych jak definicja „potęgi” klasycznej. Tymczasem cała filozofia tkwi w tym, że obraz z I ćwiartki ma być przesunięty o 180 stopni a nie obrócony o 180 stopni. Gdy obraz przesuniemy o te stopnie osiągniemy półosie ujemne (-x) i (-y), które są właściwe dla III ćwiartki, po drugiej stronie płaszczyzny gdzie przebiegi mają odwrotny kierunek, stąd ujemne oznakowanie półosi. Jeżeli natomiast obraz obrócimy o te stopnie to osią obrotu jest półoś +y i obraz z I ćwiartki występuje jako fałszywe odbicie I ćwiartki umiejscowione w II ćwiartce. Widzimy na tym fałszywym obrazie, na kółku z pleksiglasu, że tu gdzie powinna być półoś (-x) widnieje +, więc co najwyżej moglibyśmy taki kwadrat zapisać w wartości bezwzględnej jako I-xI² i nic dziwnego, że z tego nie będziemy mieli ujemnego pierwiastka. Nie przesunął się on o 180 stopni, tym samym nie osiągnął ujemnej półosi (-x) więc do wykreślenia przebiegu funkcji z tej ujemnej półosi argumenty nie mogą być wybierane, a tak jest robione w „potędze” klasycznej o parzystym wykładniku.

Żeby dotrzeć do ujemnych półosi przemieszczaliśmy oko obserwatora o 180 stopni, na drugą stronę płaszczyzny, ponad nią, stosując wybieg poprzez ograniczenie jej powierzchni do niewielkiego kółka co nam to umożliwiało. Ale wykres przebiegającej funkcji by dostać się na drugą stronę płaszczyzny, przesuniętą o 180 stopni robi to przez dziurkę w niej, tam gdzie jest zawsze potęga 0^0=0/0=± , a co na rysunku 7 zostało podkreślone żółtym tłem, jako określona strefa. Tym sposobem osiąga III ćwiartkę przesuniętą o 180 stopni względem I.

O fakcie istnienia ujemnych kwadratów może przekonać się każdy naocznie, bowiem tego potwierdzeniem jest ujemna energia o której istnieniu dowiemy się np.: z ruchu – gdzie jest ruch masy tam jest i energia.

Wymontujmy z roweru koło, najporęczniej przednie. Wprawmy go w ruch obrotowy np.: zgodny z kierunkiem narastania kąta i najwygodniej w pozycji poziomej trzymając jedną ręką od dołu za oś, drugą nadając prędkość obrotową. Gdzie jest prędkość masy tam jest i energia zawierająca w algorytmie ją określającym, kwadrat prędkości. Jeżeli przyjmiemy tą obserwowaną energię ruchu koła za +E, to obróćmy teraz to obracające się koło, trzymane oburącz od dołu i góry za wystające z piasty części osi, o 180 stopni, najlepiej w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotów. Przekonamy się, że odwrócone koło ma przeciwne obroty niż mu nadawaliśmy na wstępie. Nie ma wątpliwości, że teraz ma energię ujemną –E pochodzącą z ujemnego kwadratu prędkości (-v)²= -1*v*v=-v*v, który występuje w algorytmie określającym tą ujemną energię, pochodną od ujemnej drogi: –v=-s/t , w stosunku do drogi +s, przed obróceniem koła. Jeżeli przekręcać będziemy oś obrotu w zgodnym kierunku i z dużą prędkością zsynchronizowaną i skorelowaną z prędkością obrotową koła, to straty na tarcie w łożyskach podczas przekręcania będą minimalne, a być może przy idealnej synchronizacji, nie będzie ich wcale?

Tą energię możemy określić z prędkości kątowej  , ponieważ , gdzie:  prędkość kątowa;  : przyrost kąta; : czas w którym ten przyrost kąta następuje; r: promień koła; v: prędkość liniowa obwodu koła. Koło roweru nie jest najlepszym modelem, z powodu nierównomiernego rozkładu masy m, która jest skupiona na jego obwodzie, gdzie jest obręcz, opona i dętka a środek jest praktycznie pusty (tylko szprychy). Zastąpimy więc go tarczą np.: z odpowiedniej grubości blachy, gdzie będzie równomierny rozkład masy. Ma ono odpowiednią wagę wyrażoną w ciężarze, czyli kG, z których po podzieleniu przez przyśpieszenie grawitacyjne g≈9,81, wyznaczymy masę m takiej tarczy.

Wyprowadzimy równanie na energię ruchu obserwowanego na górze tarczy przed jej obróceniem:  , gdzie to prędkość średnia, oraz na odwrotnej stronie tarczy, na spodniej, którą obserwowaliśmy po jej obróceniu na górę o 180 stopni:  . Energię wypadkową dla tarczy jako całości, wtedy gdy składowe są o różnych znakach, otrzymamy drogą nie sumowania lecz różnicowania, co wynika z zasady zachowania energii, która jest niezniszczalna i może tylko zmienić formę w jakiej się objawi, zachowując zdolność do zmiany tej formy w sposób przejściowy. Z różnicowania możemy otrzymać: , lub: .

Widzimy, że w obu przypadkach jest to energia kinetyczna, wypadkowa obracającej się tarczy , jedna i ta sama ale o dwóch różnych przejawach swego istnienia. To, czy jest dodatnia czy ujemna zależy od punktu widzenia. Obiektywnie jest taka i taka, równocześnie. Rotujące obiekty tak już mają, taka jest ich natura. To tak jak medal, ma awers i rewers i nic na to nie poradzimy. Ważne jest jakie stąd wyciągnąć wnioski. Można forsować któryś z punktów widzenia uznając, że właściwa energia to jest ta, którą postrzegam ze swojego punktu widzenia. Takie przetargi do niczego konstruktywnego nie mogą doprowadzić wobec dwoistości natury tej energii. Ważniejsze jest, co chcemy osiągnąć korzystając z tej dwoistości. W przeprowadzonej próbie z tarczą spostrzegamy, że w zależności od tego która jej strona jest na „wierzchu”, w tym właściwym dla swoich obrotów kierunku, gdy będzie podłoże podparcia, będzie się przemieszczać. Zatem trzeba się „dogadać” w którym kierunku chcemy iść i w zależności od tego ustalić czyj punkt widzenia ma być preferowany czuli czyje ma być na „wierzchu”.

To, że jest ta energia jedną i tą samą ale o różnych przejawach, wynika chociażby z tego, że moglibyśmy ją magazynować jako odzysk z procesu hamowania obracającej się w którąś stronę tarczy, a następnie z takiego przejściowego magazynu czerpać ją do nadania prędkości dla tarczy w przeciwnym kierunku gdzie zmieni ona znak. O tym, że jest to energia kinetyczna może niejeden z obserwatorów  mógł się przekonać widząc poruszające się samochody, przewożące na dachu, umocowane do bagażnika do góry kołami, rowery. Jadący z określoną prędkością samochód, nadał kołu pewną energię kinetyczną adekwatną do prędkości tego samochodu. Koło względem samochodu pozostaje nieruchome. Jednak podczas gwałtownego hamowania cała uwięziona w kołach roweru energia kinetyczna jest przekazana na ruch obrotowy kół roweru zgodny z kierunkiem wcześniejszej jazdy.

Rysunek 8, wykres funkcji f(x) =(±x)^2.

Rysunek 9, przebieg funkcji f(x)= (±x)², z uwidocznionym w bardzo wielkiej skali powiększenia, centrum funkcji.

Rysunek 9 przedstawia przebieg funkcji w centrum układu współrzędnych prostokątnych. Funkcja jest nieciągła w przedziale od +x=sqrt(1js/ꝏf) do (-x)=sqrt(-1js/ꝏf) . Od tych wartości zaczynają się dopiero półosie liczbowe ±x. Przerywanymi liniami pokazano zarys gdzie była by kontynuacja przebiegu tych półosi ±x. Pozbawione one są w tych miejscach liczb i przyjmują tylko wartość znaków liczbowych tych półosi. Brak liczb wynika stąd, że z fizycznego i kosmologicznego punktu widzenia, nie ma mniejszych wartości wymiarowych jak ±1js/ꝏf i to co mogło by nawet być z matematycznego punktu widzenia mniejsze od tych wartości, w realnej rzeczywistości nie ma miejsca.

Ponieważ tak jest, to i każda potęga nie może być mniejsza od tej wartości a zatem i półosie liczbowe ±y zaczynają się od tych najmniejszych wartości z występującymi brakami tych półosi  zastąpionymi strefami  zmieniających się znaków ± zastępującymi części brakujących półosi ±y. Półosie ±x muszą się zaczynać od pierwiastka takiego stopnia z jakiego stopnia potęgą mamy do czynienia. Im wyższe potęgi tym półosie zmiennych niezależnych zaczynają się bliżej wartości ±1. Dość powiedzieć, że dla pierwiastka o stopniu  , jest to wartość tak bliska ±1, że jest to zero odcięte przecinkiem po którym następuje kilkadziesiąt dziewiątek za którymi dopiero dalsze cyfry. Powstaje w płaszczyźnie przy półosiach x swoisty tunel tym dłuższy im wyższa potęga, w którym funkcje tracą swą ciągłość. Tak jak dla przypadku funkcji kwadratowej, od wartości sqrt(±1js/ꝏf), w kierunku centrum, półosie x muszą przybierać wartości swych znaków liczbowych bez liczb gdyż na odcinku prostej oznaczającej brak ciągłości tej funkcji, pokazane czerwoną linią przerywaną muszą się odwzorowywać kwadraty znaków, które stanowią strefę (+) tam gdzie brak jest części półosi +y, zgodnie z rachunkiem , te znaki +, a nie liczby muszą być wybierane z półosi +x. Analogicznie z półosi (-x) musimy wybierać (-) by otrzymać adekwatne kwadraty odpowiadające strefie znaku (-) tam gdzie brak jest części półosi (-y), jak w rachunku: .

Ad 2. Rozwiązywanie równań kwadratowych w formie trójmianu a*x²+b*x+c=0  polega na znalezieniu pierwiastka tego trójmianu, przedstawionego w formie jego funkcji, której przebieg przetnie oś x wyznaczając miejsce zerowe w którym to nastąpiło i w którym zmienna zależna y oraz to równanie przyjmą wartość 0. Ograniczę się do aspektu praktycznego rozwiązywania tych równań w potędze realnej, pomijając żmudną i bardziej złożoną dla potęgi realnej niż klasycznej analizę opartą na teorii postaci kanonicznej z której uzyskujemy te równania.

Należało by zacząć od wyznaczenia kilku parametrów związanych z tym trójmianem, które będą niezbędne do sporządzenia wykresu jego funkcji. Z wykresu będzie wynikać gdzie funkcja ma miejsce zerowe, czyli dla jakich wartości przetnie oś x wyznaczając miejsce zerowe i pierwiastek równania trójmianu a*x²+b*x+c=0. Z uwagi na to, że wyrazy algebraiczne a; b; c ukrywają cyfry o różnych znakach (±), ze względów praktycznych najwygodniej jest by „a” było dodatnie. Gdy jest przeciwnie, najlepiej będzie bez szkody dla prawdziwości równania, jak i wartości jego pierwiastka wymnożyć go przez (-1). Ten wymóg podyktowany jest tym, że wykres funkcji powinien być w I ćwiartce z kontynuacją w III ćwiartce, gdy tymczasem przy „a” ujemnym mieści się on w nieprawidłowych II i IV ćwiartce.

Niech to będzie przykładowy trójmian.

Wyznaczymy:

, gdzie: p –wektor poziomy, przesuwający funkcję wzdłuż osi x.

, gdzie: c_k –część liczby c, tak zwane c kanoniczne.

q=c –c_k ⇒q=-7+2=-5, gdzie: q –wektor pionowy, przesuwający funkcję wzdłuż osi y.

Z uogólnionego algorytmu dla wszelkiego typu równań trójmianu wyznaczamy pierwiastek :

.

Po zalecanym wymnożeniu trójmianu przez (-1) otrzymamy: , z którego wyznaczymy nowe:

.

.

.

Równanie to zapiszemy w takiej postaci by uwidoczniony był wektor q równy 5,: .

Z tego powodu, że a jest teraz dodatnie jego potęga zerowa jest równa 1 i algorytm wartości pierwiastka upraszcza się poprzez eliminację a⁰ i ma postać: , dający ten sam pierwiastek przy uproszczonym zapisie. Pierwiastek ten nie zawsze spełnia, po podstawieniu, równanie z którego został wyliczony. Zależy to od znaku wartości wyliczonego x₀ gdyż same równanie ma ogólniejszą formę, a mianowicie przy już dodatnim a:

, o ile (x₀)⁰ =1, nic się nie zmienia i pierwiastek spełnia to równanie, natomiast w razie jego ujemnej wartości (x₀)⁰=-1  mamy wtedy dwa przypadki równań pochodnych spełnianych przez ten wyliczony pierwiastek x₀:

a) Gdy (x₀-p)⁰=1 przy ujemnej wartości x₀ równanie ma postać : , mnoży się przez (-1) całe równanie otrzymując równanie pochodne spełniane przez pierwiastek x₀.

b) Gdy (x₀-p)⁰=-1 przy ujemnej wartości x₀ równanie ma postać: , mnoży się przez (-1) równanie bez wektora q, otrzymując równanie pochodne spełniane przez pierwiastek x₀.

W przytoczonym przykładzie otrzymamy: (-0,5811…)⁰=-1; (-0,5811…-p)⁰=(-0,5811…-1)⁰=-1, stąd

.

Jest to równanie pochodne z ujemnym kwadratem spełniane przez wyliczone x₀.

Sporządzając rysunek wykreślamy teraz podstawowy układ współrzędnych prostokątnych. Na ten układ nanosimy wyznaczone wektory p i q a w miejscu styku ich końców, wyznaczający punkt do którego przemieszczony jest wykres funkcji podstawowej f(x)=a*x². Nanosimy drugi układ współrzędnych prostokątnych, zwany roboczym, o początku w tym punkcie styku wektorów. Ze względów wizualnych najlepiej liniami przerywanymi lub innym kolorem. Na tym roboczym układzie wykreślimy przebieg funkcji f(x)=2*x², stanowiący pierwszy składnik z nawiasu równania: =0 nie martwimy się przy tym i nie bierzemy pod uwagę pozostałych składników tego równania. Wartość tych pozostałych składników została już uwzględniona przy wyznaczaniu wektorów p i q.

Wykreślona funkcja f(x)=2*x², różni się od opisywanej wcześniej funkcji f(x)=x² tym, że gdy a>1 to ma ona bardziej strzeliste ramiona czy też człony. Gdy 0<a<1 są one bardziej rozłożyste.

Rysunek10, wykres przebiegu funkcji , przesuniętej o wektory p i q.

W miejscu przecięcia się ramion: członów wykreślonej funkcji z osią x podstawowego układu współrzędnych prostokątnych znajduje się jej miejsce zerowe x₀. Widzimy, że jest ono na półosi (-x) i wielkość tej liczby to ≈ (-0,6). Jego dokładną wartość obliczyliśmy wcześniej. To wymnożenie równania przez (-1) jest charakterystyczne dla III ćwiartki i rozważanej przedtem pozycji III oka obserwatora, ćwiartki gdzie wszystko przebiega w odwrotnym kierunku niż w ćwiartce I i ten odwrotny kierunek to właśnie wymnożenie przez (-1). Widzimy, że w tym równaniu c_k=-2, odnotowujemy to co widzimy określając wartość c=q+c_k⇒c=5-2=3.

Wektory pozostają niezmienne, wszak funkcja nie zmieniła swego położenia. Podstawimy wielkość x₀ do równania w celu sprawdzenia jego prawdziwości:

.

Podsumowując, jak zauważamy każde równanie kwadratowe ma swoje rozwiązanie, o jednym pierwiastku, wyznaczonym przez jego funkcję f(x)=ax² przemieszczoną o wektory p i q w którymś z członów czy też ramion, w I lub III ćwiartce układu współrzędnych prostokątnych.

3.Weryfikacja potęgi realnej.

Najprostszym i najpowszechniejszym weryfikatorem potęgi realnej a przynajmniej jej formy kwadratowej, jest samo życie społeczne człowieka. W ujęciu funkcyjnym kwadratu, ideałem jest by to była funkcja f(x)=ax² ulokowana w centrum układu współrzędnych prostokątnych. Wszelkie inne funkcje kwadratowe są tylko wypaczeniem tej przytoczonej. Powołuję się na to życie społeczne ponieważ charakteryzuje je niezwykły dynamizm. Dynamizm to ruch, będący atrybutem energii, w której ten ruch opisywany jest kwadratem prędkości, więc życie społeczne jest najwyższym przejawem istniejącej energii. Pojedynczy człowiek wyposażony z natury w tą energię jest w stanie wbrew sile grawitacji wspiąć się na szczyt góry, czego nie może zrobić kamień gdyż pozbawiony energii ulega tej sile.

Społeczeństwo jest w stanie nie tylko wspiąć się na taki szczyt ale może jeszcze więcej, może w ogóle opuścić Ziemię, wprawdzie nie jako całość ale w postaci swoich przedstawicieli, którzy sami, bez społeczeństwa i jego pracy szeroko rozumianej, skierowanej by taki cel osiągnąć, nie mogli by tego zrobić. Dlatego społeczeństwo z natury jest najwyższym przejawem istnienia i organizacji energii. Zawiera więc w sobie kwadrat prędkości i z tego względu nadaje się na matematyczno –fizyczny model spełniający i wyczerpujący znamiona funkcji kwadratowej. To, że właśnie kwadratowej wynika z faktu, iż w pewnym okresie swego istnienia osiąga owe społeczeństwo etap rozwoju cywilizacji technicznej wyraźnie zaznaczający się od czasu upowszechnienia maszyny parowej, a rozwijający się właśnie w tempie funkcji kwadratowej.

Równanie kwadratowe w pojęciu potęgi realnej ma zawsze rozwiązanie, pierwiastek, wyznaczony przez któryś z członów jego funkcji, w I bądź III ćwiartce układu współrzędnych prostokątnych. Czy nie jest tak w życiu, że z każdej sytuacji jest jakieś wyjście, rozwiązanie? Lepsze czy gorsze ale zawsze jest, inaczej to już byłby tylko koniec świata. Czy funkcja kwadratowa „potęgi” klasycznej spełnia to spostrzeżenie? Nie, bo jest fałszywa. Jej wykres jest parabolą. Jeżeli ramiona paraboli są skierowane ku górze a wektor pionowy q ma wartość dodatnią to parabola znajduje się ponad osią x i równanie prezentujące tą funkcję nie ma rozwiązania gdyż wykres funkcji nie przecina osi x. Odwrotnie, gdy ramiona paraboli są skierowane w dół a wektor q ma wartość ujemną to parabola jest poniżej osi x i również brak jest rozwiązania. Gdy któraś z parabol przecina oś liczbową x to wyznaczane są dwa pierwiastki równania, czy miejsca zerowe jego funkcji z których jeden jest do niczego nieprzydatny. Czy to jest zgodne z tym czym jest model organizacji społeczeństwa, postawiony przez tą potęgę w sytuacji bez wyjścia, braku rozwiązania problemu, w sytuacji gdy to już tylko koniec świata ? Na pewno, nie.

Funkcja idealna to f(x)=ax², wszelkie inne są jej wypaczeniem. W życiu jest jednak tak, że ideały są nieosiągalne, są tylko wzorcem do naśladowania, wokół którego są zawsze mniejsze czy większe fluktuacje, odstępstwa. Z powodu tych fluktuacji dochodzi w jej centrum do zmiany znaków na przeciwne ± gdyż taką wartość ma centrum: 0⁰=±. W organizacji społeczeństwa odpowiada to przejściowości, nieciągłości władzy co ma miejsce w społecznościach demokratycznych, przynajmniej tych niewykoślawionych. Zmienność władzy jest wpisany w model matematyczno –fizyczny społeczeństwa i takie ma podłoże. Nieuchronność przejściowości władzy w życiu społecznym wpisana jest, jak znam życie, tylko w zdrową demokrację. Ta przejściowość jest konieczna gdyż każda, z wyjątkiem Boskiej, władza po dłuższym czasie ulega degeneracji. Im dłużej trwa ona u steru, tym głębszy stopień degeneracji.

Przywołajmy teraz z pamięci prezentowany model funkcji kwadratowej naniesiony na wycięte z kartonu kółko. Jak pamiętamy po każdej jego stronie istnieje właściwy dla tej strony, rysunek przebiegu funkcji, jak i wierny podgląd na przebieg tej funkcji po przeciwnej stronie płaszczyzny koła, niewidocznej przecież z tej pozycji. By społeczeństwo było zdrowe pod każdym, nie tylko medycznym względem, musi otrzymywać wierne, nie zniekształcone informacje z tego podglądu, by wiedzieć co realnie dzieje się w ćwiartce układu współrzędnych prostokątnych po przeciwnej stronie, a w odniesieniu do społeczeństwa, na antypodach. Nie ma możliwości bycia wszędzie jednocześnie by zobaczyć co się w tych miejscach dzieje z autopsji, więc skazani jesteśmy na przekaz z podglądu. Po co tak z matematycznego jak i społecznego punktu widzenia potrzebne są te rzetelne, nie zniekształcone przekazy informacji? Po to właśnie by w jednym jak i drugim przypadku można by było rozwiązać równanie kwadratowe życia w szerokim jego rozumieniu. Zlokalizować pierwiastek, czyli określić w czym tkwią przyczyny, że funkcja nie zajmuje centralnego położenia, gdy go nie zajmuje. Do dostarczania tych informacji w społeczeństwie powołane są wszelkiego rodzaju środki masowego przekazu zwane mediami. To jest to zwierciadło w którym oglądaliśmy rzeczywisty obraz przebiegu funkcji z niewidocznej z naszej pozycji ćwiartki układu. Nie trzeba być filozofem by dojść do wniosku, że do racjonalnego rozwoju społeczeństwa konieczne jest by stworzyło ono prawdziwie niezależne środki przekazu informacji, jak to zwierciadło, by mieć wierny przekaz umożliwiający rozwiązywanie różnorakich kwadratowych równań społecznych. Popatrzmy tymczasem co się dzieje po zmianie władzy. Swoją działalność rozpoczyna ona od manipulacji przy mediach starając się usilnie je sobie podporządkować. Cel jest oczywisty, propagować swój jedynie słuszny punkt widzenia rzeczywistości. Zmanipulować informację tak by ogłupione tym społeczeństwo też przyjęło ten punkt widzenia za swój własny co umożliwia poparcie i dłuższe utrzymywanie się rządzących u władzy. Władza jest słodka, daje apanaże i bezkarność tym większą im dłużej trwa, popierana przez otumanione dezinformacją społeczeństwo.

Społeczności demokratyczne jeszcze w najmniejszym stopniu są narażone na te manipulacje gdyż mają w sobie zapisaną zmienność władzy ale i one nie mogą czuć się bezpieczne. Póki co nie wymyślono jednak jeszcze nic lepszego. Władzę i w demokracji bowiem można podzielić na tą sprawowaną przez oficjalne rządy, wymienialną, jak i na tę nieoficjalną, sprawowaną przez oligarchów , establishment a szczególnie przez banki centralne, kreujące fałszywy bez pokrycia pieniądz. Której to kreacji celem jest zadłużanie, a de facto, okradanie społeczeństwa przy pomocy nakręcanej spirali inflacji i przez to jego ubezwłasnowolnienie. Władzę trwającą całymi pokoleniami. Nie pcha się ona na świeczniki ale są to szare eminencje o charakterze ponad narodowym i monopolistycznym. Oni trzymają w garści pęk sznurków na których końcach uwiązana jest najczęściej władza oficjalna jak i politycy pociągani za te sznurki. To dla nich najgroźniejsza jest rzetelna informacja bo stawia ich w świetle reflektorów. Będą dążyć do tego by obraz rzeczywistości był fałszywy w myśl tego, że w mętnej wodzie najlepiej łowi się ryby. Ten fałszywy obraz, jak w funkcji kwadratowej, ma uniemożliwić wykrycie rzeczywistych powodów przyczyniających się do tego, że funkcja ta z matematycznego jak i społecznego punktu widzenia nie może mieć centralnego, przybliżonego do ideału, przebiegu. Gdyby społeczeństwo poznało wektory wytrącające ten przebieg z centralnego położenia, znalazło by właściwy sposób rozwiązania problemu a to by było z punktu widzenia fałszerzy niepożądane bo skończyło by się im eldorado.

Postępują tak jakby arkana potęgi realnej, które chcą skrzętnie ukryć przed społeczeństwem, były im znane. Bo czyżby to była tylko ich intuicja?

b), weryfikacja przez funkcje trygonometryczne.

Zaczerpnięty przykład z trygonomerii gdzie wzory wymagają modyfikacji by uzyskać prawdziwy wynik matematyczny

Zauważmy, że twierdzenie jedynki to też równania uzyskane z modyfikacji równania cos²α+sin²α=1, prawdziwego tylko w I i IV ćwiartce.

Jak wyizolujemy np.: z drugiej modyfikacji i II ćwiartki cosα/2, dla tego samego kąta 120 stopni, to otrzymamy: cos120=-sqrt((1+cos240)/2). Można wykazać, że ta konieczna dla prawdziwości modyfikacja, jest prawdziwa bo pochodzi od prawdziwej potęgi realnej. Wychodząc od równości w I ćwiartce: 1+cosα=2*cos²α/2. Jeżeli połowa kąta to 120 stopni, wówczas jego cosinus jest ujemny i leży w II ćwiartce. Kwadrat realnej potegi liczby ujemnej to:

-1*|±a|²=-1*a*a=-a*a stąd: cos²120=cos120*(-cos120)=(-1-cos240)/2 =>cos120=sqrt((-1-cos240)/2)=sqrt((-1)*(1+cos240)/2)=sqrt((-1)²*(1+cos240)/2) c.b.d.o. =>

-1/2=-sqrt((1-1/2)/2)=-1/2, co jest zgodne z prawdą.

 Musimy przy tym zauważyć, że:

sqrt((-1-cos240)/2)=sqrt((-1-(1/2))/2)=sqrt((-1/2)/2)=sqrt(-1/4)=sqrt(-1/2*1/2)=sqrt(-1/2)2=sqrt(cos²120)=cos120=-1/2, co jest prawdą i niemożliwe do obliczenia

 przez fałszywą dla liczb ujemnych potęgę klasyczną. Zreasumujmy hipotetyczną Potęgę realną.

W świetle tej hipotezy potęga klasyczna liczb ujemnych (-a)*(-a)*(-a)*...*(-a) potęgą nie jest gdyż jest to n-krotny iloczyn liczby ujemnej, szczególnie gdy wykładnik jest parzysty. Tylko gdy wykładnik jest nieparzysty, dzięki zbiegowi okoliczności jest to równe potędze, np.(-2)³=(-2)*(-2)*(-2)= -1*2*2*2, n-krotny iloczyn jest równy potędze i dla tych przypadków nigdy nie wnosi sprzeczności. Natomiast n-krotne iloczyny parzyste liczby ujemnej są potęgami wartości bezwzględnej lub (co jest równoważne), wartości dodatniej (-a)ⁿ=(-a)*(-a)*(-a)*...*(-a),  przy n parzystym jest potęgą ale liczby dodatniej a nie ujemnej i to jest ta różnica. Z tego powodu iloczyny parzyste, w odróżnieniu od potęgi i zgodnie z tym czym są w istocie powinny być w znaku bezwzględności.

Reasumując, czym innym są n- krotne iloczyny prezentowane przez potęgę klasyczną a czym innym jest potęga szczególnie liczby ujemnej prezentowana przez Potęgę realną. Potęga to swoisty sposób namnażania a nie mnożenia. Jej definicję określa wyrażenie: sign(±a)*|±a|ⁿ =potęga realna.

Przykład 1.

 Oto przykład konieczności modyfikacji: przykładowy wzór  . Jeżeli  przypadnie w II ćwiartce i wynosi 120° to cos 120° jest liczbą ujemną a klasyczny kwadrat czyli dwukrotny iloczyn tej ujemnej liczby musimy zapisać w znaku bezwzględności otrzymując:

.

 .

Coś nie bardzo wyszło, równość stron niby jest, tylko wynik się nie zgadza bo akurat  . Tego prawdziwego wyniku nie można jednak uzyskać gdyż w pojęciu „potęgi” klasycznej, nie istnieją ujemne pierwiastki parzystego stopnia, a to nic dziwnego skoro jest to wartość bezwzględna. Nie pozostaje nic innego jak w oparciu o doświadczenie powstawiać tam minusy co załatwiało by sprawę. Zaraz, zaraz ale to miało wypłynąć również z działań matematycznych doprowadzających do uzyskania ujemnego cos 120°, a nie tylko bazować na doświadczeniu. Coś nie bardzo z tą matematyką a nie bardzo bo definicja „potęgi” klasycznej jest fałszywa. By uzyskać prawdziwy wynik, końcową równość trzeba było jednak w końcu wymnożyć stronami przez (-1), czyli jak będziemy teraz cofali się wstecz o strzałkę wynikową to tam też będzie: . Umiejscowiona po lewej stronie ujemna wartość:  , uzyskana musiała by być ze spierwiastkowanego, jeszcze jedną strzałkę wynikową wstecz, kwadratu: , więc pod tym pierwiastkiem nie mogło by być nic innego jak:   , a to jest przecież pod pierwiastkiem kwadrat potęgi realnej z której pierwiastek jest równy właśnie:  . Widzimy, że przed pierwszą strzałką wynikową musi znajdować się kwadrat cos 120 zapisany tak jak pod pierwiastkiem, nie inaczej jak:  , co jest kwadratem prawdziwej potęgi realnej do której ujawnienia doprowadziła konieczność wymnożenia przez (-1) końcowej równości uzyskanej z kwadratu fałszywej „potęgi” klasycznej. Stąd właśnie wynika konieczność dokonywania modyfikacji.

Przykładowe trzy modyfikacje dla poszczególnych ćwiartek z funkcji trygonometrycznych gdzie występują kwadraty:

I ćwiartka,  . |   1=2cos² α/2-cos α.

II ćwiartka,  . |   1=-2cos² α/2-cos α.

III ćwiartka,  . |   1=-2cos² α/2-cos α.

IV ćwiartka,  .   |    1=2cos² α/2-cos α.

Konieczne jest rozpisywanie na cztery ćwiartki.

Zauważmy, że twierdzenie jedynki to też równania uzyskane z modyfikacji równania , prawdziwego tylko w I ćwiartce.

Gdzie p to wektor.

Prawa strona zestawienia zawiera kwadratowe funkcje trygonometryczne zależne od ćwiartek w których występują. Możemy przyrównać je wszystkie do cyfry 1.

Jak wyizolujemy np.: z drugiej modyfikacji i II ćwiartki  , dla tego samego kąta 120 stopni, to otrzymamy:  . Można wykazać, że ta konieczna dla prawdziwości modyfikacja, jest prawdziwa bo pochodzi od prawdziwej potęgi realnej. Wychodząc od równości w I ćwiartce:  . Jeżeli połowa kąta to 120 stopni, wówczas jego cosinus jest ujemny i leży w II ćwiartce. Kwadrat liczby ujemnej to:

 stąd:

 ,

 co jest zgodne z prawdą. Musimy przy tym zauważyć, że:

 , co jest prawdą.

Przykład 2. Przykładowa modyfikacja klasycznego równania , dla III ćwiartki.

Równanie to jest prawdziwe tylko dla I i IV ćwiartki i w III ćwiartce gdzie te funkcje trygonometryczne mają ujemną wartość, więc ich dwukrotne iloczyny mogą być zapisane nie inaczej jak kwadraty wartości bezwzględnej i całe równanie ma wtedy postać: . Tą równość obustronnie spierwiastkujemy otrzymując:  , widzimy, że dla III ćwiartki nie jest to prawdą i aby w tej ćwiartce było prawdziwe trzeba je poddać modyfikacji poprzez wymnożenie obustronnie przez (-1).

 .

 Pod pierwiastkiem mamy już sumę kwadratu realnego cosinusa i cyfry 1, oraz wynikowe równanie:

.

Utworzymy kwadrat realny lewej strony poprzez jej wymnożenie przez dodatnią wartość   (-sinα), podnosząc jednocześnie prawą stronę do kwadratu, które to działania są równoważne. Wykażę to nieco niżej również prawą stronę mnożąc przez ( -sinα) co tak samo doprowadzi do uzyskania równości z lewą stroną potwierdzając tą równoważność.

 . Jest to twierdzenie jedynki dla III ćwiartki.

Zgodnie z zapowiedzią wymnożymy teraz prawą stronę równania tak jak i lewą przez dodatnią wartość (-sinα) by doprowadzając do równości stron wykazać równowartość tego działania z podnoszeniem prawej strony do kwadratu

.

Ponieważ sin2α=2sinα*cosα, stąd .

Sin2α dla III ćwiartki, o czym będzie mowa w dalszej części tej pracy, jest równy:

, którą to sumą możemy podmienić iloczynem , występujący pod pierwiastkiem, po podmianie otrzymamy:

Sprawdzimy równanie , dla 210 stopni:

.

Równania z twierdzenia jedynki są bardzo pożyteczne w rozwiązywaniu różnych zadań trygonometrycznych, np.:

Przykład 3.

Znając  , znaleźć cos240°.

Dla 120° z II ćwiartki mamy modyfikacje dotyczące tej ćwiartki:  oraz twierdzenie jedynki: .

Podstawiamy w miejsce nieznanego,  jego odpowiednik z twierdzenia jedynki: , stąd

, wiec .

Przykład 4.

Znając , wyznaczyć sin420°.

Dla 210° z III ćwiartki mamy dla tej ćwiartki: . Skorzystamy ponadto z równania podwójnego kąta sin2α=2sinα*cosα. Z twierdzenia jedynki wyizolujemy: .

Zatem, , co jest prawdą.

Przykład 5.

Kilka uwag w kwestii stosowania liczby 1, która ma aż cztery wyrażenia trygonometryczne.

Jeśli mamy zmodyfikowane równanie dla połowy kąta z II ćwiartki , z równaniem potęgowym (po modyfikacji) :  , to . Chcąc wyeliminować  by wprowadzić  za pomocą liczby 1, to wybieramy twierdzenie jedynki dla kąta 120°, czyli II ćwiartki: . Podstawione do wzoru potęgowego za (-1) daje równość:

. Ponieważ z twierdzenia jedynek: , to podmienimy otrzymując: . Sprawdzimy:

 , co jest prawdą.

Ten sam rachunek dla , czyli III ćwiartki, ma równanie potęgowe: . Zastępując   przez  tym samym tokiem, wybieramy tym razem równanie potęgowe twierdzenia jedynek dla III ćwiartki gdzie jest 210°: .

Po podstawieniu otrzymamy: . Sprawdzamy:  , co jest prawdą.

Poświęcimy trochę miejsca innym metodom weryfikującym to nowatorskie spojrzenie na potęgę.

Przedstawię metody wyznaczania sin i cos dowolnej krotności kąta α.

Sinus i cosinus n –krotnego kąta α w formie pierwiastkowej.

,

,

,

,

,

,

,

Algorytm uogólniony przedłużamy dotąd, stosując do składników naprzemiennie znaki (+) i (-), aż w mianowniku ułamka osiągnie się (n –x)!=0!.

 ,

,

,

,

.

Jak widać dla cosinusa krotności kąta, współczynniki są takie same jak dla sinusa.

Sinus i cosinus n –krotnego kąta α w formie bez pierwiastkowej, sin nα, ustalono tylko dla n nieparzystych.

,

,

.

Ilość składników aż do uzyskania w nawiasie mianownika 0!.

,

,

,

,

,

,

.

Uwaga! cosα dla n nieparzystych  ma współczynniki takie jak sinα, z tym, że dla krotności o wzorze: cos(a*4 -1)α, gdzie a=1;2;3;…, współczynniki te wymnożyć przez (-1). Ponadto n –krotności zapisane jako 2*2; 2*3; 2*4; ….., mają współczynniki jak sin 2; 3; 4; …., krotnego kąta z formy pierwiastkowej.

Współczynniki towarzyszące potęgom sinα zostały wyizolowane nie bez powodu. Te współczynniki to właśnie prezentowane w dowodzie 3, sumy szeregów trygonometrycznych wyrażone w postaci wzorów z  silni.

Współczynniki występujące w kolumnie przy sin²α, równe  , przybierają wartości 1²; 2²; 3²; 4²; ….

Współczynniki w kolumnie przy sin⁴α, o wartościach: -1; -6; -20; -50; -105; … to .

Współczynniki w kolumnie przy sin⁶α, o wartościach: 1; 8; 35; 112; 294; … to .

Zastąpienie wyrazów a wyrazami wyrażającymi krotności kąta reprezentowanymi  przez n wymaga synchronizacji tych dwóch wyrażeń, polegającej na obniżeniu wartości zapisanych w nawiasach o cyfrę 2.

Np.: .

Przykład 6.

Ostatni z przykładów weryfikujących prawdziwość potęgi realnej oprzemy o twierdzenie jedynki dla III ćwiartki, według którego: , skąd określimy .

. Dla czterokrotności kąta wybierzemy równania pierwiastkowe przedstawione wcześniej.

,

Podstawimy odpowiadające wartości liczbowe:

.

.

.

.

.

.

Mamy po lewej stronie ujemny kwadrat sinusa 240° oraz potwierdzenie jego prawdziwości przez prawą stronę równania.

Weryfikacja potęgi realnej przez trygonometrię w pełni potwierdza jej prawdziwość prowadzącą do tego, że uzyskuje się prawdziwe wyniki z rozwiązywania równań trygonometrycznych, wypływające z działań matematycznych. Tylko rachunek oparty na potędze realnej pozwala otrzymać odpowiednie znaki wartości uzyskiwanych wyników, dyskredytując tym samym nieprawdziwą „potęgę” klasyczną, która ich nie dostarcza, zmuszając do poprzestawania na doświadczeniu, że w określonym miejscu powinien być znak minus to go się stawia choć to wcale nie jest poparte rachunkiem matematycznym.

W całej tej pracy zostało wykazane, że czym innym jest potęga liczby ujemnej a czym innym są jej wielokrotne iloczyny brane za potęgę. Jeżeli więc mamy ujemny wielomian (a-b) podnieść do kwadratu, gdzie b>a i a; b>0 to (a-b)²=(a-b)*(-a+b)= -a²+2ab-b²= -(a² -2ab+b²). Jeżeli ma to być dwukrotny iloczyn to musimy go zapisać w formie iloczynu a nie potęgi (a-b)*(a-b)=a²-2ab+b², dopuszczalna jest tylko forma:

Ia-bI²=(-a+b)*(-a+b)=a²-2ab+b². Wśród liczb ujemnych wykładnikiem potęgi nie można posługiwać się do skrótowego przedstawiania zapisu n –krotnych iloczynów jako (-a)ⁿ, ponieważ n to wykładnik potęgi a nie liczba określająca ilość czynników. Zbieg okoliczności sprawia, że np.: 3 krotny iloczyn liczby -2 odpowiada (-2)*(-2)*(-2)=(-1)*2*2*2=(-2)³, wynik jest taki sam ale konstrukcja matematyczna różna, ale już parzysty

2 –krotny iloczyn (-2)*(-2)= 2*2=I-2I*I-2I=I-2I²=2²≠(-2)² bowiem (-2)²=-1*2*2.

Trudno sobie uzmysłowić istnienie ujemnego pola powierzchni, czyli ujemnego kwadratu. Dzieje się tak dlatego, że geometria rozpatruje to pole w systemie stacjonarnym. Wystarczy jednak dopuścić do głosu ruch, szczególnie wirowy, tak powszechny w naturze a wszystko staje się oczywiste. Jeżeli Ziemia wiruje w kierunku narastania kąta obserwowanego z północnej półkuli to pole jej powierzchni ma znak +, ale na antypodach wiruje w odwrotnym kierunku i ten odwrotny kierunek nadaje powierzchni półkuli południowej właśnie znak „-‘’ by na płaszczyźnie równika mieć wartość przejściową ± bez powierzchni. To samo się dzieje po obu stronach płaszczyzny ekliptyki układu Słonecznego.

Longin Szatkowski.

Opublikowano 2006-08-04.

Poprawiono i uzupełniono 30-01-2015.

Kontakt: longin.sz@ interia.pl